Question

已知f（x）=

4x

4x+2

，
（1）計算f（x）+f（1-x）=

 

；
（2）若{a_n}滿足a_n=f（

n

1001

），則S₁₀₀₀=

 

；
（3）f（

1

1000

）+f（

2

1000

）+f（

3

1000

）+…+f（

999

1000

）=

 

；
（4）一般情況下，若S_n=f（

1

n+1

）+f（

2

n+1

）+f（

3

n+1

）+…+f（

n

n+1

），則S_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件，先計算f（x）+f（1-x）是常數(shù)，然后按照條件分別進(jìn)行計算即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=

4x

4x+2

，
∴f（x）+f（1-x）

4x

4x+2

+

41-x

41-x+2

=

4x

4x+2

+

4

4+2•4x

=

4x

4x+2

+

2

2+4x

=

2+4x

2+4x

=1；
（2）若{a_n}滿足a_n=f（

n

1001

），則S₁₀₀₀=f（

1

1001

）+f（

2

1001

）+…+f（

999

1001

）+f（

1000

1001

）=500×[f（

1

1001

）+f（

1000

1001

）=500；
（3）f（

1

1000

）+f（

2

1000

）+f（

3

1000

）+…+f（

999

1000

）=499×[f（

1

1000

）+f（

999

1000

）]+f（

500

1000

）=499+f（

1

2

）=499+

4

4 +2

=499+

2

2+2

=

1

2

+499=499

1

2

；
（4）若n是偶數(shù)，則S_n=f（

1

n+1

）+f（

2

n+1

）+f（

3

n+1

）+…+f（

n

n+1

）=

n

2

[f（

1

n+1

）+f（

n

n+1

）]=

n

2

，
若n是奇數(shù)，則S_n=f（

1

n+1

）+f（

2

n+1

）+f（

3

n+1

）+…+f（

n

n+1

）=

n-1

2

[f（

1

n+1

）+f（

n

n+1

）]+f（

1

2

）=

n-1

2

+

1

2

=

n

2

，
綜上S_n=

n

2

．
故答案為：（1）1，（2）500，（3）499

1

2

（4）

n

2

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)值的計算，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算法則計算出f（x）+f（1-x）=1是解決本題的關(guān)鍵．