Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為[-2，2]，對于任意實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），當(dāng)x＞0時，f（x）＞0，
（1）求證：函數(shù)f（x）在[-2，2]上是增函數(shù)；
（2）f（1-m）+f（1-m²）＞0的實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先利用特殊值法，得f（0）=0，然后令y=-x可證f（x）為奇函數(shù)，則有f（-x）=-f（x），利用定義法進行證明；
（2）利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性去掉函數(shù)符號，轉(zhuǎn)化為不等式求解，注意函數(shù)的定義域．

解答： 解：（1）證明：：令x=y=0，∴f（0）=0，
令y=-x，f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）為定義在為[-2，2]上的奇函數(shù)，
令-2≤x₁＜x₂≤2，
則有f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x）在[-2，2]上為單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）由題意f（1-m）+f（1-m²）＞0，得f（1-m）＞-f（1-m²），
∵函數(shù)為定義在為[-2，2]上的奇函數(shù)，
∴f（1-m）＞f（m²-1），
又∵函數(shù)為定義在為[-2，2]上的增函數(shù)，
∴

1-m＞m2-1 -2≤1-m≤2 -2≤m2-1≤2

，解得-1≤m＜1．

點評：考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，以及利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)值不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，在轉(zhuǎn)化過程中一定注意函數(shù)的定義域．