【題目】在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，橢圓上動點P到一個焦點的距離的最小值為3(－1)．

(1) 求橢圓C的標準方程；

(2) 已知過點M(0，－1)的動直線l與橢圓C交于A，B兩點，試判斷以線段AB為直徑的圓是否恒過定點，并說明理由．

【答案】(1)＋＝1；(2)過定點，理由見解析．

【解析】

(1) 橢圓上動點P(x0，y0)到左、右焦點的距離的最小值為a－c，結合離心率可求得，從而可得，得橢圓標準方程；

(2) 先根據(jù)直徑AB豎直和水平兩種情況，猜出定點可能為D(0，3)，再考慮是否為零．

(1) 由題意，得解得所以b2＝a2－c2＝9.

橢圓C的標準方程是＋＝1.

(2) 當直線l的斜率不存在時，以AB為直徑的圓的方程為x2＋y2＝9；

當直線l的斜率為零時，以AB為直徑的圓的方程為x2＋(y＋1)2＝16.

這兩圓僅有唯一公共點，也是橢圓的上頂點D(0，3)．猜想以AB為直徑的圓恒過定點D(0，3)．

證明如下：

(向量法) 設直線l的方程為y＝kx－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．只要證＝x1x2＋(y1－3)(y2－3)＝x1x2＋(kx1－4)(kx2－4)＝0即可．

即要證＝(1＋k2)x1x2－4k(x1＋x2)＋16＝0.

由消去y，得(1＋2k2)x2－4kx－16＝0，

Δ＝16k2＋64(1＋2k2)>0，此方程總有兩個不等實根x1，x2.

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

所以＝(1＋k2)x1x2－4k(x1＋x2)＋16＝－＋16＝0.

所以DA⊥DB，所以，以AB為直徑的圓恒過定點D(0，3)．

練習冊系列答案
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連續(xù)劇

連續(xù)劇播放時長/min

廣告播放時長/min

收視人次/萬人

甲

70

5

60

乙

60

5

25

電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時長不多于,廣告的總播放時長不少于,且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍,分別用,表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù),要使總收視人次最多,則電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù)分別為（ ）

A.6,3B.5,2C.4,5D.2,7

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(1)寫出第一次服藥后，y與t之間的函數(shù)關系式y(tǒng)＝f(t)；

(2)據(jù)進一步測定：每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時，治療有效．求服藥一次后治療有效的時間是多長？

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（Ⅱ）若點分別為曲線，上的動點，當取最大值時，求四邊形的面積.

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