Question

（2014•瀘州一模）已知函數(shù)f(x)=4x3-3x2sinθ+

1

32

，其中x∈R，θ∈（0，π）．
（Ⅰ）若f′（x）的最小值為-

3

4

，試判斷函數(shù)f（x）的零點個數(shù)，并說明理由；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的極小值大于零，求θ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數(shù)得到f′（x）的最小值，故有-

3

4

sin2θ=-

3

4

，進而得到導函數(shù)的解析式，故函數(shù)的極值可求出，根據(jù)極值的正負即可判斷出函數(shù)f（x）的零點個數(shù)；
（Ⅱ）求導函數(shù)，利用導數(shù)的正負即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而得到函數(shù)的極小值，由于極小值大于零，以及θ∈（0，π），即可解得θ的取值范圍．

解答：解：（I）f'（x）=12x²-6xsinθ，
當x=

sinθ

4

時，f'（x）有最小值為f′(x)=-

3

4

sin2θ，
所以-

3

4

sin2θ=-

3

4

，即sin²θ=1，
因為θ∈（0，π），所以sinθ=1，
所以f'（x）=12x²-6x，
所以f（x）在(0，

1

2

)上是減函數(shù)，在(-∞，0)，(

1

2

，+∞)上是增函數(shù)，
而f(0)=

1

32

＞0，f(

1

2

)=-

7

32

＜0，
故函數(shù)f（x）的零點個數(shù)有3個；
（Ⅱ）  f'（x）=12x²-6xsinθ
令f'（x）=0，解得x1=0，x2=

sinθ

2

，
由θ∈（0，π）知sinθ＞0，根據(jù)（I），當x變化時，f'（x）的符號及f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	(0， sinθ 2 )	sinθ 2	( sinθ 2 ，+∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

因此，函數(shù)f（x）在x=

sinθ

2

處取得極小值f(

sinθ

2

)=-

1

4

sin3θ+

1

32

，
要使f(

sinθ

2

)＞0，必有-

1

4

sin3θ+

1

32

＞0
整理得0＜sinθ＜

1

2

，又θ∈（0，π），
解得θ∈(0，

π

6

)∪(

5π

6

，π)．
所以θ的取值范圍是θ∈(0，

π

6

)∪(

5π

6

，π)．

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的極值和根的存在性定理，同時考查了轉(zhuǎn)化的思想和計算能力，屬于中檔題．