用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利(Bernoulli)不等式:如果x是實數(shù),且x>-1,x≠0,n為大于1的自然數(shù),那么有(1+x)n>1+nx.

證明:(1)當(dāng)n=2時,∵x≠0,∴(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,不等式成立;
(2)假設(shè)n=k(k≥2)時,不等式成立,即(1+x)k>1+kx
當(dāng)n=k+1時,(1+x)k+1>(1+x)(1+kx)=1+x+kx+kx2>1+(k+1)x
∴當(dāng)n=k+1時,不等式成立
由(1)(2)可知,不等式成立.
分析:先證明n=2時結(jié)論成立,再假設(shè)n=k(k≥2)時,不等式成立,利用假設(shè)證明當(dāng)n=k+1時,不等式成立即可.
點評:本題考查數(shù)學(xué)歸納法,考查不等式的證明,正確運用數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟是關(guān)鍵.
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用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利(Bernoulli)不等式:如果x是實數(shù),且x>-1,x≠0,n為大于1的自然數(shù),那么有(1+x)n>1+nx.

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