Question

（2013•紹興一模）已知A是圓x²+y²=4上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)A作兩條直線l₁，l₂，它們與橢圓

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+y2=1都只有一個公共點(diǎn)，且分別交圓于點(diǎn)M，N．
（1）若A（-2，0），求直線l₁，l₂的方程；
（2）①求證：對于圓上的任意點(diǎn)A，都有l(wèi)₁⊥l₂成立；
     ②求△AMN面積的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線方程代入橢圓方程，利用直線與橢圓

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+y2=1都只有一個公共點(diǎn)，求出直線的斜率，即可直線l₁，l₂的方程；
（2）①分類討論，利用直線斜率的關(guān)系，即可證得結(jié)論；
②記原點(diǎn)到直線l₁，l₂的距離分別為d₁，d₂，表示出△AMN面積，從而可求其取值范圍．

解答：（1）解：設(shè)直線的方程為y=k（x+2），代入橢圓

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+y2=1，消去y，可得（1+3k²）x²+12k²x+12k²-3=0
由△=0，可得k²-1=0
設(shè)l₁，l₂的斜率分別為k₁，k₂，∴k₁=-1，k₂=1
∴直線l₁，l₂的方程分別為y=-x-2，y=x+2；
（2）①證明：當(dāng)直線l₁，l₂的斜率有一條不存在時，不妨設(shè)l₁無斜率
∵l₁與橢圓只有一個公共點(diǎn)，所以其方程為x=±

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當(dāng)l₁的方程為x=

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時，此時l₁與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

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，±1），所以l₂的方程為y=1（或y=-1），l₁⊥l₂成立，
同理可證，當(dāng)l₁的方程為x=-

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時，結(jié)論成立；
當(dāng)直線l₁，l₂的斜率都存在時，設(shè)點(diǎn)A（m，n），且m²+n²=4
設(shè)方程為y=k（x-m）+n，代入橢圓方程，可得（1+3k²）x²+6k（n-km）x+3（n-km）2-3=0
由△=0化簡整理得（3-m²）k²+2mnk+1-n²=0
∵m²+n²=4
∴（3-m²）k²+2mnk+m²-3=0
設(shè)l₁，l₂的斜率分別為k₁，k₂，∴k₁k₂=-1，∴l(xiāng)₁⊥l₂成立
綜上，對于圓上的任意點(diǎn)A，都有l(wèi)₁⊥l₂成立；
 ②記原點(diǎn)到直線l₁，l₂的距離分別為d₁，d₂，
∵d12+d22=4，∴△AMN面積S²=4d12d22=4d12(4-d12)=-4(d12-2)2+16
∵d12∈[1，3]，∴S²∈[12，16]
∴S∈[2

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，4]．

點(diǎn)評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線方程，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，綜合性強(qiáng)，難度大．