Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+4|x|+5．
（1）畫出函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間[-5，5]上的大致圖象；
（2）解關于x的不等式f（x）＜7；
（3）當時，證明：f（x）＜kx+4k+7對x∈R恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）f（x）=-x²+4|x|+5=，求出函數(shù)的對稱軸，頂點坐標，與x軸交點坐標，與y軸交點坐標，能夠畫出函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間[-5，5]上的大致圖象．
（2）原不等式等價轉(zhuǎn)化為下列不等式組：或者，由此能求出原不等式的解集．
（3）原不等式等價轉(zhuǎn)化為下列不等式組：或者，由此能夠證明f（x）＜kx+4k+7對x∈R恒成立．
解答：解：（1）f（x）=-x²+4|x|+5=，
∵[-5，5]，
∴由-x²+4x+5=0，得x₁=-1（舍），x₂=5；
由-x²-4x+5=0，得x₁=1（舍），x₂=-5．
∴圖象與x軸的兩個交點（-5，0），（5，0），
y=-x²-4x+5的對稱軸是x=-2，最高點是（-2，9），y=-x²+4x+5的對稱軸是x=2，最高點是（2，9），
與y軸的交點是（0，5），
∴其圖象是如右圖
（2）原不等式等價轉(zhuǎn)化為下列不等式組：或者，
解得不等式的解為或或或．…（4分）
（或者由x²-4|x|+2＞0，解得或）
所以原不等式的解為：．…（6分）
（3）證法1：原不等式等價轉(zhuǎn)化為下列不等式組：
（Ⅰ）
或者（Ⅱ）（2分）
（Ⅰ）不等式2中，判別式，
因為，
所以，0≤（k-4）²＜8，
即△₁＜0；所以當x＜0時，f（x）＜kx+4k+7恒成立．…（5分）
（Ⅱ）在不等式4中，判別式，
因為，
所以，0≤（k-4）²＜8，
又，
所以△₂＜0．
（或者）
所以當x≥0時，f（x）＜kx+4k+7恒成立．
綜上討論，得到：當時，
f（x）＜kx+4k+7對x∈R恒成立．…（8分）
點評：本題考查函數(shù)圖象的畫法，考查不等式的解法，考查不等式恒成立的證明．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．