Question

若f（x）是一次函數，且

∫

1 0

 f（x）dx=5，

∫

1 0

xf（x）dx=

17

6

，那么

∫

2 1

f(x)

x

dx的值是

 

．

Answer 1

分析：利用待定系數法求出f（x）的解析式；利用微積分基本定理列出方程組，求出f（x）的解析；利用微積分基本定理求出定積分值．

解答：解：∵f（x）是一次函數，
∴設f（x）=ax+b（a≠0），
由

∫

1 0

 （ax+b）dx=5得（

1

2

ax²+bx）

.

1 0

=

1

2

a+b=5，①
由

∫

1 0

 xf（x）dx=

17

6

得

∫

1 0

 （ax²+bx）dx=

17

6

，即
（

1

3

ax³+

1

2

bx²）

.

1 0

=

17

6

，∴

1

3

a+

1

2

b=

17

6

，②
解①②得a=4，b=3，
∴f（x）=4x+3，
于是

∫

2 1

 

f(x)

x

dx=

∫

2 1

 

4x+3

x

dx=

∫

2 1

 （4+

3

x

）dx
=（4x+3lnx）

.

2 1

=8+3ln2-4=4+3ln2．
故答案為4+3ln2

點評：本題考查求解析式的常用方法：待定系數法、考查微積分基本定理求定積分值．