Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|{x}^{2}-1|，}&{x＜1}\\{\frac{lnx}{x}，}&{x≥1}\end{array}\right.$若方程f（x）=m恰有五個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍為（0，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 判斷f（x）的單調(diào)性，計算極值，作出f（x）的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象得出m的范圍．

解答 解：當x≥1時，f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴當1≤x＜e時，f′（x）＞0，當x＞e時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（1，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，
當x=e時，f（x）取得極大值f（e）=$\frac{1}{e}$．
作出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可知當0$＜m＜\frac{1}{e}$時，方程f（x）=m有5個解，
故答案為（0，$\frac{1}{e}$）．

點評 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判定，方程解與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．