Question

已知函數(shù)f（x）=（

1

2

）^x-log₃x，正實(shí)數(shù)a，b，c是公差為正實(shí)數(shù)的等差數(shù)列，且滿足f（a）•f（b）•f（c）＞0；已知命題P：實(shí)數(shù)d是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)零點(diǎn)；則下列四個(gè)命題：①d＜a；②d＞b；③d＜c；④d＞c中是命題P的必要不充分條件的命題個(gè)數(shù)為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)出a，b，c的關(guān)系，推出a，b，c，d的大小關(guān)系，利用函數(shù)的零點(diǎn)，推出d的范圍，然后通過充要條件的判斷方法，得到選項(xiàng)．

解答：解：f（x）=（

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2

）^x-log₃x，是由y=（

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2

）^x 和 y=-log₃x，
兩個(gè)函數(shù)中，每個(gè)函數(shù)都是減函數(shù)，所以，函數(shù)f（x）為減函數(shù)．
∵正實(shí)數(shù)a，b，c是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，
∴不妨設(shè)a＜b＜c
∵f（a）f（b）f（c）＞0
則f（a）＞0，f（b）＜0，f（c）＜0   或者f（a）＞0，f（b）＞0，f（c）＞0
綜合以上兩種可能，恒有 f（a）＞0，∴a∈（0，1），b＞1，c＞1，
實(shí)數(shù)d是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)零點(diǎn)；（

1

2

）^d=log₃d，d∈（0，1）．
所以只有③d＜c；正確．
四個(gè)命題：①d＜a；②d＞b；③d＜c；④d＞c中是命題P的必要不充分條件的命題個(gè)數(shù)為1．
故選A．

點(diǎn)評：本題考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)，正確估計(jì)函數(shù)值與a，b，c的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，邏輯推理能力．