Question

11．已知O為坐標(biāo)原點，向量$\overrightarrow{OA}$=（sinx，1），$\overrightarrow{OB}$=（cosx，0），$\overrightarrow{OC}$=（-sinx，2），點P滿足$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BP}$．
（1）記函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{CA}$，當(dāng)x∈（-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$）時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)$\overrightarrow{OD}$=（4λ，cos2x），g（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OD}$，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，若g（x）的最大值是$\frac{3}{2}$，求實數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （1）點P滿足$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BP}$．求出$\overrightarrow{P}$的坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{CA}$求解出f（x）的解析式，化為y=Asin（ωx+φ）的形式，將內(nèi)層函數(shù)看作整體，求出的范圍，根據(jù)k的取值，可得單調(diào)增減區(qū)間；
（2）向量的數(shù)量積的坐標(biāo)求解出g（x）的解析式，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題求解．

解答 解：由題意：向量$\overrightarrow{OA}$=（sinx，1），$\overrightarrow{OB}$=（cosx，0），$\overrightarrow{OC}$=（-sinx，2），
則：A（sinx，1），B（cosx，0），C（-sinx，2），
設(shè)P點為（m，n），點P滿足$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BP}$．
則$\left\{\begin{array}{l}{cosx-sinx=m-cosx}\\{0-1=n-0}\end{array}\right.$
故得P為（2cosx，-1）．
（1）函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{CA}$=（sinx-cosx，1）（2sinx，-1）=2sin²x-sin2x-1=-$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）
當(dāng)x∈（-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$）時，則2x+$\frac{π}{4}$∈[0，$\frac{5π}{4}$]，
∴當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$時，即x=$\frac{π}{8}$時，函數(shù)f（x）取得最小值，
根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)：可知
當(dāng)x∈（-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$）時，函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（$-\frac{π}{8}$，$\frac{π}{8}$），單調(diào)增區(qū)間為（$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$）．
（2）設(shè)$\overrightarrow{OD}$=（4λ，cos2x），即D（4λ，cos2x），
g（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OD}$=（sinx，1）（4λ，cos2x）=4λsinx+cos2x=2cos²x-1+4λsinx=2-2sin²x-1+4λsinx，
故得g（x）=-2（sinx-λ）²+2λ²+1，
由g（x）的最大值是$\frac{3}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{sinx=λ}\\{2{λ}^{2}+1=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴sinx=λ＞0．
解得：λ=$\frac{1}{2}$．
故得g（x）的最大值是$\frac{3}{2}$，實數(shù)λ的值為$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了向量的數(shù)量積的坐標(biāo)計算，三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)的運用．計較綜合的題，屬于中檔題．