Question

4．已知函數f（x）=x²+aln（x+1），其中a≠0
（1）若a=-4，求f（x）的極值；
（2）判斷函數f（x）的單調性．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間，從而求出函數的極小值即可．
（2）先求函數f（x）的定義域，再求導數f′（x），由于含參數a，分類討論解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可．

解答 解：（1）a=-4時，f（x）=x²-4ln（x+1），函數f（x）的定義域為（-1，+∞），
f′（x）=2x-$\frac{4}{x+1}$=$\frac{2（x-1）（x+2）}{x+1}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜1，
故f（x）在（-1，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
故x=1時，f（x）取得極小值1-4ln2；
（2）函數f（x）的定義域為（-1，+∞），
f′（x）=2x+$\frac{a}{x+1}$=$\frac{{2（x+\frac{1}{2}）}^{2}+a-\frac{1}{2}}{x+1}$，
①當a≥$\frac{1}{2}$時，f′（x）＞0，f（x）在（-1，+∞）上單調遞增；
②當a＜$\frac{1}{2}$時，f′（x）=0有兩個解，x₁=$\frac{-1-\sqrt{1-2a}}{2}$，x₂=$\frac{-1+\sqrt{1-2a}}{2}$，且x₁＜x₂，
若x₁＞-1，即0＜a＜$\frac{1}{2}$時，-1＜x₁＜x₂，
此時f（x）在（-1，x₁），（x₂，+∞）上單調遞增，在（x₁，x₂）上單調遞減；
若x₁≤-1，即a≤0時，x₁≤-1＜x₂，
此時f（x）在（-1，x₂）上單調遞減，在（x₂，+∞）上單調遞增．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性及函數最值問題，考查分類討論思想，考查學生綜合運用所學知識分析解決問題的能力．