Question

（理做）已知函數(shù)f(x)=sin2x+sinxcosx+

m

2

sin(x+

π

4

)sin(x-

π

4

)
（1）當(dāng)m=0時(shí)，求f（x）在區(qū)間[

π

8

，

3π

4

]上的取值范圍；
（2）當(dāng)tanα=2時(shí)，f(α)=

3

5

，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先利用恒等變換把函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用定義域求函數(shù)的值域．
（2）先把函數(shù)變形成簡單的形式，進(jìn)一步利用函數(shù)的正切值，求出正弦值和余弦值，最后求出參數(shù)m的值．

解答： 解：（1）當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=f（x）=sin²x+sinxcosx=

1

2

(sin2x-cos2x)+

1

2

=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

由于x∈[

π

8

，

3π

4

]
所以：2x-

π

4

∈[0，

5π

4

]
sin(2x-

π

4

)∈[-

2

2

，1]
f（x）∈[0，

1+ 2

2

]
（2）由于f(x)=sin2x+sinxcosx+

m

2

sin(x+

π

4

)sin(x-

π

4

)
=

1

2

[sin2x-(1+

m

2

)cos2x]+

1

2

所以：f（α）=

1

2

[sin2α-(1+

m

2

)cos2α]+

1

2

tanα=2
所以：sin2α=

2tanα

1+tan2α

=

4

5

，cos2α=

1-tan2α

1+tan2α

=-

3

5

由于：f(α)=

3

5

3

5

=

1

2

[

4

5

+(1+

m

2

)]+

1

2

解得：m=-4

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的恒等變換，利用正弦型函數(shù)的定義域求函數(shù)的值域，求參數(shù)的值．屬于基礎(chǔ)題型