Question

已知兩點(diǎn)M（-3，0），N（3，0），若直線(xiàn)上存在點(diǎn)P，使|PM|+|PN|=10，則稱(chēng)該直線(xiàn)為“A型直線(xiàn)”，給出直線(xiàn)：①x=

25

3

；②y=2x+3；③y=x+10；④y=-5x+1，其中是“A型直線(xiàn)”的是

 

．（填序號(hào)）

Answer 1

分析：已知點(diǎn)M（-3，0），N（3，0），若存在點(diǎn)P，使|PM|+|PN|=10，則點(diǎn)P的軌跡是橢圓，只需要判斷所給出直線(xiàn)與橢圓有沒(méi)有交點(diǎn)即可．

解答：解：已知點(diǎn)M（-3，0），N（3，0），且存在點(diǎn)P，使|PM|+|PN|=10，則點(diǎn)P的軌跡是橢圓，其方程為：

x2

25

+

y2

16

=1；
①x=

25

3

是橢圓的右準(zhǔn)線(xiàn)，與橢圓無(wú)交點(diǎn)；
②與橢圓方程組成方程組，

y=2x+3 x2 25 + y2 16 =1

消去y，得116x²+300x+175=0，△=90000-4×116×175＞0，方程組有解，
∴直線(xiàn)與橢圓有交點(diǎn)，滿(mǎn)足條件；
③與橢圓方程組成方程組，

y=x+10 x2 25 + y2 16 =1

消去y，得41x²+500x+2100=0，△=2500-4×41×2100＜0，方程組無(wú)解，
∴直線(xiàn)與橢圓無(wú)交點(diǎn)，不滿(mǎn)足條件；
④與橢圓方程組成方程組，

y=-5x+1 x2 25 + y2 16 =1

消去y，得641x²-250x-375=0，△=62500-4×641×（-375）＞0，方程組有解，
∴直線(xiàn)與橢圓有交點(diǎn)，滿(mǎn)足條件；
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)構(gòu)造橢圓，轉(zhuǎn)化為判斷直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)問(wèn)題，就容易解決了．