Question

已知θ∈（π，

3π

2

），sin²θ-（

15

-

5

）sinθ•cosθ-5

3

cos²θ=0．
（1）求cosθ；
（2）若f（x）=

4 15

15

sinθ•cos²x-4

3

cosθ•sinx•cosx+

1

2

，求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由題意利用三角函數(shù)的恒等變換求得tanθ的值，可得cosθ的值．
（2）（2）由（1）可得sinθ=-

15

4

，利用三角函數(shù)的恒等變換求得f（x）=sin（2x-

π

6

 ），令2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，求得x的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間．

解答： 解：（1）∵θ∈（π，

3π

2

），則由 sin²θ-（

15

-

5

）sinθ•cosθ-5

3

cos²θ=0可得 tan²θ-（

15

-5）tanθ-5

3

=0，
求得tanθ=

15

，或 tanθ=-

5

（舍去），∴cosθ=-

1

4

．
（2）由（1）可得sinθ=-

15

4

，∴f（x）=

4 15

15

sinθ•cos²x-4

3

cosθ•sinx•cosx+

1

2

=

4 15

15

•（-

15

4

）cos²x-4

3

•（-

1

4

）sinxcosx+

1

2

=

3

sinxcosx-cos²x+

1

2

=sin（2x-

π

6

 ）．
故函數(shù)的周期為

2π

2

=π．
令2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，求得 kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，可得函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈z．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，三角函數(shù)的周期性和求法，正弦函數(shù)的減區(qū)間，屬于中檔題．