Question

某沿海地區(qū)養(yǎng)殖的一種特色海鮮上市時(shí)間僅能持續(xù)5個(gè)月，預(yù)測(cè)上市初期和后期會(huì)因供不應(yīng)求使價(jià)格呈持續(xù)上漲態(tài)勢(shì)，而中期又將出現(xiàn)供大于求使價(jià)格連續(xù)下跌．現(xiàn)有三種價(jià)格模擬函數(shù)：
①f（x）=p•q^x；
②f（x）=px²+qx+1；
③f（x）=x（x-q）²+p．（以上三式中p、q均為常數(shù)，且q＞1）
（I）為準(zhǔn)確研究其價(jià)格走勢(shì)，應(yīng)選哪種價(jià)格模擬函數(shù)，為什么？
（Ⅱ）若f（0）=4，f（2）=6，求出所選函數(shù)f（x）的解析式（注：函數(shù)定義域是[0，5]．其中x=0表示8月1日，x=1表示9月1日，…，以此類推）；
（Ⅲ）為保證養(yǎng)殖戶的經(jīng)濟(jì)效益，當(dāng)?shù)卣�府�?jì)劃在價(jià)格下跌期間積極拓寬外銷，請(qǐng)你預(yù)測(cè)該海鮮將在哪幾個(gè)月份內(nèi)價(jià)格下跌．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用價(jià)格呈現(xiàn)前幾次與后幾次均連續(xù)上升，中間幾次連續(xù)下降的趨勢(shì)，故可從三個(gè)函數(shù)的單調(diào)上考慮，前面兩個(gè)函數(shù)沒(méi)有出現(xiàn)兩個(gè)遞增區(qū)間和一個(gè)遞減區(qū)間，應(yīng)選f（x）=x（x-q）²+p為其模擬函數(shù)；
（II）由題中條件：f（0）=4，f（2）=6，得方程組，求出p，q即可，從而得到f（x）的解析式；
（III）確定函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)小于0，即可預(yù)測(cè)該果品在哪幾個(gè)月份內(nèi)價(jià)格下跌．
解答：解：（I）因?yàn)閒（x）=pq^x是單調(diào)函數(shù)，f（x）=px²+qx+1，只有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，不符合題設(shè)中的價(jià)格變化規(guī)律
在f（x）=x（x-q）²+p中，f′（x）=3x²-4qx+q²，
令f′（x）=0，得x=q，x=，即f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，可以出現(xiàn)兩個(gè)遞增區(qū)間和一個(gè)遞減區(qū)間，符合題設(shè)中的價(jià)格變化規(guī)律，所以應(yīng)選f（x）=x（x-q）²+p為價(jià)格模擬函數(shù)；
（II）由f（0）=4，f（2）=6，得，∴p=4，q=3
（III）f（x）=x³-6x²+9x+4（0≤x≤5，且x∈Z）．
由f′（x）=3x²-12x+9≤0得：1≤x≤3，
由題意可預(yù)測(cè)該果品在9、10、11月份內(nèi)價(jià)格下跌．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的確定，考查函數(shù)解析式，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，屬于中檔題．