精英家教網(wǎng)如圖，在△ABC中，B=
π
4
，角A的平分線AD交BC于點D，設(shè)∠BAD=α，sinα=
5
5
．
（Ⅰ）求sinC；   
（Ⅱ）若
BA
•
BC
=28，求AC的長．
分析：（Ⅰ）由α為三角形BAD中的角，根據(jù)sinα的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosα的值，進(jìn)而利用二倍角的正弦函數(shù)公式求出sin∠BAC與cos∠BAC的值，即為sin2α與cos2α的值，sinC變形為sin[π-（
π
4
+2α）]，利用誘導(dǎo)公式，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡后，將各自的值代入計算即可求出sinC的值；
（Ⅱ）利用正弦定理列出關(guān)系式，將sinC與sin∠BAC的值代入得出AB=
7
2
8
BC，利用平面向量的數(shù)量積運算法則化簡已知等式左邊，將表示出的AB代入求出BC的長，再利用正弦定理即可求出AC的長．
解答：解：（Ⅰ）∵α∈（0，
π
2
），sinα
5
5
，
∴cosα=
1-sin2α
=
2
5
5
，
∴sin∠BAC=sin2α=2sinαcosα=2×
5
5
×
2
5
5
=
4
5
，
cos∠BAC=cos2α=2cos2α-1=2×
4
5
-1=
3
5
，
∴sinC=sin[π-（
π
4
+2α）]=sin（
π
4
+2α）=
2
2
（cos2α+sin2α）=
2
2
×（
3
5
+
4
5
）=
7
2
10
；
（Ⅱ）由正弦定理，得
AB
sinC
=
BC
sin∠BAC
，
即
AB
7
2
10
=
BC
4
5
，
∴AB=
7
2
8
BC，
又
BA
•
BC
=28，
∴AB×BC×
2
2
=28，
由上兩式解得：BC=4
2
，
由
AC
sinB
=
BC
sin∠BAC
，
得：
AC
2
2
=
BC
4
5
，
∴AC=5．
點評：此題考查了正弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在△ABC中，已知∠ABC=90°，AB上一點E，以BE為直徑的⊙O恰與AC相切于點D，若AE=2cm，
AD=4cm．
（1）求：⊙O的直徑BE的長；
（2）計算：△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在△ABC中，D是邊AC上的點，且AB=AD，2AB=
3
BD，BC=2BD，則sinC的值為（　�。�
A、
3
3
B、
3
6
C、
6
3
D、
6
6

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，設(shè)
AB
=a，
AC
=b，AP的中點為Q，BQ的中點為R，CR的中點恰為P．
（Ⅰ）若
AP
=λa+μb，求λ和μ的值；
（Ⅱ）以AB，AC為鄰邊，AP為對角線，作平行四邊形ANPM，求平行四邊形ANPM和三角形ABC的面積之比
S平行四邊形ANPM
S△ABC
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，∠B=45°，D是BC邊上的一點，AD=5，AC=7，DC=3．
（1）求∠ADC的大小；
（2）求AB的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，已知
BD
=2
DC
，則
AD
=（　�。�

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