Question

若不等式（a-1）x²-（a-1）x-1＜0對(duì)一切的x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（-3，1]

．

Answer 1

分析：要分別考慮二次項(xiàng)系數(shù)為0和不為0兩種情況，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)，只要驗(yàn)證是否對(duì)一切x∈R成立即可；當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為0時(shí)，主要用二次函數(shù)開口方向和判別式求出a的取值范圍．最后兩種情況下求并集即可．

解答：解：若a-1=0，
則不等式（a-1）x²-（a-1）x-1＜0即-1＜0對(duì)一切的x∈R恒成立，
所以a=1可��；
設(shè)f（x）=（a-1）x²-（a-1）x-1，
當(dāng)a-1＜0且△=[-（a-1）]²+4（a-1）＜0，解得：-3＜a＜1．…（9分）
即-3＜a＜1時(shí)不等式對(duì)一切x∈R恒成立，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-3，1]．…（12分）
故答案為：（-3，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)恒成立問題，考慮二次項(xiàng)系數(shù)為0的情況容易忽略，所以也是易錯(cuò)題．