橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)A（a，0），坐標(biāo)原點(diǎn)為O，若橢圓上存在點(diǎn)P，使∠AP0=90゜．試求橢圓離心率的取值范圍．
分析：根據(jù)題意點(diǎn)P在以AO為直徑的圓上，求出該圓的方程為x2+y2-ax=0．圓的方程與橢圓的方程消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，可得該方程的兩根分別為點(diǎn)P、A的橫坐標(biāo)，得到P的橫坐標(biāo)為
a b2
a2-b2
，最后根據(jù)P的橫坐標(biāo)小于a且大于0，建立關(guān)于a、b、c的不等式，解之即可得到該橢圓離心率的取值范圍．
解答：解：∵∠AP0=90゜，∴點(diǎn)P在以AO為直徑的圓上，
∵O（0，0），A（a，0），
∴以AO為直徑的圓方程為（x-
a
2
）2+y2=
a2
4
，即x2+y2-ax=0，
由
x2
a2
+
y2
b2
=1
x2+y2-ax=0
消去y，得（b2-a2）x2+a3x-a2b2=0．
設(shè)P（m，n），
∵P、A是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1與x2+y2-ax=0兩個不同的公共點(diǎn)，
∴m+a=
-a3
b2-a2
，ma=
a2b2
a2-b2
，可得m=
a b2
a2-b2
．
∵由圖形得0＜m＜a，∴0＜
a b2
a2-b2
＜a，
即b2＜a2-b2，可得a2-c2＜c2，得a2＜2c2
∴a＜
2
c，解得橢圓離心率e=
c
a
＞
c
2
c
=
2
2
，
又∵e∈（0，1），
∴橢圓的離心率e的取值范圍為（
2
2
，1）．
點(diǎn)評：本題給出橢圓滿足的條件，求橢圓的離心率取值范圍，著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率e=
2
2
，右準(zhǔn)線方程為x=2．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)F1的直線l與該橢圓交于M、N兩點(diǎn)，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）與過點(diǎn)A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，求證：|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）與過點(diǎn)A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為線段AF1的中點(diǎn)，求證：∠ATM=∠AF1T．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè) A（x1，y1）、B（x2，y2）是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量
m
=(
x1
a
，
y1
b
)，
n
=(
x2
a
，
y2
b
)且
m
•
n
=0．
（1）若A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，證明點(diǎn)M在橢圓上；
（3）若點(diǎn)P、Q為橢圓 上的兩點(diǎn)，且
PQ
∥
OB
，試問：線段PQ能否被直線OA平分？若能平分，請加以證明；若不能平分，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：四川 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率e=
2
2
，右準(zhǔn)線方程為x=2．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)F1的直線l與該橢圓交于M、N兩點(diǎn)，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直線l的方程．

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同步練習(xí)冊答案