Question

已知E、F分別在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BB₁、CC₁上，且B₁E=2EB，CF=2FC₁，則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值等于

 

．

Answer 1

分析：由題意畫出正方體的圖形，延長CB、FE交點為S連接AS，過B作BP⊥AS連接PE，所以面AEF與面ABC所成的二面角就是：∠BPE，求出BP與正方體的棱長的關(guān)系，然后求出面AEF與面ABC所成的二面角的正切值．

解答：解：由題意畫出圖形如圖：
因為E、F分別在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BB₁、CC₁上，且B₁E=2EB，CF=2FC₁，
延長CB、FE交點為S連接AS，過B作BP⊥AS連接PE，所以面AEF與面ABC所成的二面角就是∠BPE，因為B₁E=2EB，CF=2FC₁，
所以BE：CF=1：2
所以SB：SC=1：2，
設(shè)正方體的棱長為：a，所以AS=

2

a，BP=

2

2

a，BE=

a

3

，在RT△PBE中，tan∠EPB=

BE

PB

=

a 3

2 2 a

=

2

3

，
故答案為：

2

3

點評：本題是基礎(chǔ)題，考查二面角的平面角的正切值的求法，解題的關(guān)鍵是能夠作出二面角的棱，作出二面角的平面角，考查計算能力，邏輯推理能力．