(2013•肇慶二模)如圖1,在直角梯形ABCD中,已知AD∥BC,AD=AB=1,∠BAD=90°,∠BCD=45°,AE⊥BD.將△ABD沿對(duì)角線BD折起(圖2),記折起后點(diǎn)A的位置為P且使平面PBD⊥平面BCD.
(1)求三棱錐P-BCD的體積;
(2)求平面PBC與平面PCD所成二面角的平面角的大。
分析:(1)由題意證明PE為三棱錐P-BCD的高,由原圖形可得三角形BDC為等腰直角三角形,求出其面積,則三棱錐P-BCD的體積可求;
(2)由(1)的求解過(guò)程知道PE⊥BD,DC⊥BD,過(guò)E作DC的平行線后以E點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面PBC與平面PCD的法向量,由平面法向量求平面PBC與平面PCD所成二面角的平面角的大小.
解答:解:(1)∵平面PBD⊥平面BCD,PE⊥BD,PE?平面PBD,平面PBD∩平面BCD=BD,
∴PE⊥平面BCD,
即PE是三棱錐P-BCD的高,
又∵AD∥BC,AD=AB=1,∠BAD=90°,∠BCD=45°,
∴∠ABD=∠CBD=45°,∠BDC=90°,CD=BD=
AB2+AD2
=
2
,
PE=AE=ABsin45o=
2
2
,S△BCD=
1
2
BD•CD=
1
2
×
2
×
2
=1

∴三棱錐P-BCD的體積V=
1
3
S△BCD•PE=
1
3
×1×
2
2
=
2
6

(2)過(guò)E作直線EG∥DC,交BC于G,則EG⊥BD,EG⊥PE
如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

P(0,0,
2
2
),B(
2
2
,0,0),C(-
2
2
2
,0)
,D(-
2
2
,0,0)
.
PB
=(
2
2
,0,-
2
2
),
PC
=(-
2
2
2
,-
2
2
)
,
PD
=(-
2
2
,0,-
2
2
)

設(shè)平面PBC的法向量為
n
=(x,y,z),
n
PB
=0
n
PC
=0
,即
2
2
x-
2
2
z=0
-
2
2
x+
2
y-
2
2
z=0
,化簡(jiǎn)得
z=x
x-2y+z=0

令x=1,得z=1,y=1,所以
n
=(1,1,1)是平面PBC的一個(gè)法向量.
再設(shè)
m
=(x1,y1z1)
,
m
PC
=0
m
PD
=0
,即
-
2
2
x1+
2
y1-
2
2
z1=0
-
2
2
x1-
2
2
z1=0
,化簡(jiǎn)得
x1-2y1+z1=0
x1+z1=0

令x1=1,得y1=0,z1=-1,所以平面PCD的一個(gè)法向量為
m
=(1,0,-1).
設(shè)向量
n
m
所成角為θ,則cosθ=|
n
m
|
n
|•|
m
|
|=
0
3
2
=0

∴平面PBC與平面PCD所成二面角的平面角的大小為90°.
點(diǎn)評(píng):本題考查了棱錐的體積的求法,考查了二面角的平面角及求法,綜合考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力,解答此題時(shí)一定要注意折疊前后的變量與不變量,此題是中檔題.
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若以直角坐標(biāo)系的x軸的非負(fù)半軸為極軸,曲線l1的極坐標(biāo)系方程為ρsin(θ-
π
4
)=
2
2
(ρ>0,0≤θ≤2π),直線l2的參數(shù)方程為
x=1-2t
y=2t+2
(t為參數(shù)),則l1與l2的交點(diǎn)A的直角坐標(biāo)是
(1,2)
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(2013•肇慶二模)定義全集U的子集M的特征函數(shù)為fM(x)=
1,x∈M
0,x∈CUM
,這里?UM表示集合M在全集U中的補(bǔ)集,已M⊆U,N⊆U,給出以下結(jié)論:
①若M⊆N,則對(duì)于任意x∈U,都有fM(x)≤fN(x);
②對(duì)于任意x∈U都有fCUM(x)=1-fM(x);
③對(duì)于任意x∈U,都有fM∩N(x)=fM(x)•fN(x);
④對(duì)于任意x∈U,都有fM∪N(x)=fM(x)•fN(x).
則結(jié)論正確的是( 。

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(-∞,-6)∪(
4
3
,+∞)
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4
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,+∞)

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99
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(2013•肇慶二模)
π
2
0
(3x+sinx)dx=
3
8
π2+1
3
8
π2+1

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