Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABCD是平行四邊形，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)．
1）求證：MN∥平面PAD．
2）若PD⊥AD，PD=

3

，AD=1，求異面直線(xiàn)MN和BC所成的角．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面平行的判定,異面直線(xiàn)及其所成的角

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：1）取CD的中點(diǎn)E，連接ME，NE．利用三角形中位線(xiàn)定理得到NE∥平面PAD．由四邊形ABCD是平行四邊形，得四邊形AMED是平行四邊形，從而得到ME∥平面PAD．由此證明平面MNE∥平面PAD，從而MN∥平面PAD．
2）由已知條件得∠EMN是異面直線(xiàn)MN和BC所成的角，由此能求出異面直線(xiàn)MN和BC所成的角．

解答： 1）證明：取CD的中點(diǎn)E，連接ME，NE．
由N是線(xiàn)段CP的中點(diǎn)，利用三角形的中位線(xiàn)定理可得NE∥PD，
∵NE?平面PAD，PD?平面PAD，
∴NE∥平面PAD．
由M是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，E是CD的中點(diǎn)，四邊形ABCD是平行四邊形，
∴四邊形AMED是平行四邊形，
∴ME∥AD，可得ME∥平面PAD．
又ME∩EN=E，∴平面MNE∥平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形AMED是平行四邊形，
∴ME∥BC，∴∠EMN是異面直線(xiàn)MN和BC所成的角，
∵PD⊥AD，PD=

3

，AD=1，
∴NE⊥ME，NE=

1

2

PD=

3

2

，EM=1，
∴tan∠EMN=

NE

EM

=

3

2

，
∴異面直線(xiàn)MN和BC所成的角為arctan

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面平行的證明，考查異面直線(xiàn)所成的角的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．