Question

（2010•眉山一模）對(duì)于定義在R上的函數(shù)f（x），有下述命題：
①若f（x）是奇函數(shù)，則f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)A（1，0）對(duì)稱；
②若函數(shù)f（x-1）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則f（x）為偶函數(shù)；
③若對(duì)x∈R，有f（x）=f（2-x），則函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=1對(duì)稱；
④若對(duì)x∈R，有f(x+1)=-

1

f(x)

，則f（x）的最小值正周期為4．
其中正確命題的序號(hào)是

①②③

．（填寫出所有的命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：f（x-1）的圖象由f（x）的圖象向右平移得到；而f（x）是奇函數(shù)，它的對(duì)稱中心是（0，0），從而可得f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)A（1，0）對(duì)稱；對(duì)于②，也可用類似的方法解決；對(duì)于x∈R，有f（x）=f（2-x），則函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=1對(duì)稱，故③正確，若對(duì)x∈R，有f(x+1)=-

1

f(x)

，則f（x）的最小值正周期為2．故④不正確．

解答：解：∵f（x）是奇函數(shù)∴f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
而f（x-1）的圖象由f（x）的圖象向右移一個(gè)單位，
故f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)A（1，0）對(duì)稱，故①正確；
若函數(shù)f（x-1）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，而f（x-1）的圖象由f（x）的圖象向右移一個(gè)單位，
則f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，∴f（x）為偶函數(shù)故②正確；
若對(duì)x∈R，有f（x）=f（2-x），則函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=1對(duì)稱，故③正確，
若對(duì)x∈R，有f(x+1)=-

1

f(x)

，則f（x）的最小值正周期為2．故④不正確，
綜上可知①②③正確，
故答案為：①②③

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及圖象的對(duì)稱性和平移變換等有關(guān)知識(shí)，是一道綜合題，需要對(duì)各性質(zhì)都要清楚才能做出．