Question

已知函數f（x）=ln

sinx+cosx

sinx-cosx

．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）猜測f（x）的周期并證明；
（3）寫出f（x）的單調遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）求出函數f（ x） 的定義域關于原點對稱，再由f（-x）=-f（ x），可得函數f（ x）為奇函數．
（2）由于tanx的周期等于π，故f（x）的周期等于π，證明根據f（π+x）=f（ x）．
（3）f（x）的單調遞減區(qū)間即函數t=

tanx+1

tanx-1

=1+

2

tanx-1

的減區(qū)間，即tanx＜-1 或tanx＞1 時的增區(qū)間，由此求得f（x）的單調遞減區(qū)間．

解答：解：（1）由

sinx+cosx

sinx-cosx

=

tanx+1

tanx-1

＞0，可得 tanx＜-1 或tanx＞1，cosx=0．
∴x＞kπ+

π

4

，或x＜kπ-

π

4

，或 x=2kπ±

π

2

，k∈z，
故函數的定義域為（kπ+

π

4

，kπ+

π

2

）∪（ kπ-

π

2

，kπ-

π

4

 ），或x=2kπ±

π

2

，k∈z，故定義域關于原點對稱．
∵f（ x）=ln

tanx+1

tanx-1

，∴f（-x）=ln 

-tanx+1

-tanx-1

=ln 

tanx -1

1+ tanx

=-ln

tanx+1

tanx-1

=-f（ x），
故函數f（ x）為奇函數．
（2）由于tanx的周期等于π，故f（x）的周期等于π，證明如下：
∵f（π+x）=ln

tan(π+x) +1

tan(π+x) -1

=ln 

tanx+1

tanx-1

=f（ x），故函數f（ x）的周期等于π．
（3）f（x）的單調遞減區(qū)間即函數t=

tanx+1

tanx-1

=1+

2

tanx-1

的減區(qū)間，即tanx＜-1 或tanx＞1 時的增區(qū)間，
故f（x）的單調遞減區(qū)間為（kπ+

π

4

，kπ+

π

2

），（ kπ-

π

2

，kπ-

π

4

 ）．

點評：本題考查三角函數的周期性、奇偶性和單調性，化簡函數f（ x） 的解析式為 ln

tanx+1

tanx-1

，是解題的關鍵．