Question

已知橢圓C的焦點是F₁（-2

2

，0），F(xiàn)₂（2

2

，0），其上的動點P滿足|PF₁|+|PF₂|=4

3

．點O為坐標原點，橢圓C的下頂點為R．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ） 設(shè)直線l₁：y=x+2與橢圓C的交于A，B兩點，求過O，A，B三點的圓的方程；
（Ⅲ）設(shè)過點（0，1）且斜率為k的直線l₂交橢圓C于M，N兩點，試證明：無論k取何值時，

RM

•

RN

恒為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由|PF1|+|PF2|=4

3

，得2a=4

3

，再由2c=4

2

，能求出橢圓C的標準方程．
（Ⅱ）聯(lián)立

x2+3y2-12=0 y=x+2

，得x²+3x=0，從而A（0，2），B（-3，-1），設(shè)所求圓的方程為：x²+y²+Dx+Ey+F=0，由此能求出圓的方程．
（Ⅲ）設(shè)l₂：y=kx+1，聯(lián)立

y=kx+1 x2+3y2-12=0

，得（1+3k²）x²+6kx-9=0，點（0，1）在橢圓C內(nèi)，得△＞0恒成立．由此利用韋達定理和向量數(shù)量積能證明

RM

•

RN

=0為定值．

解答： （Ⅰ）解：∵|PF1|+|PF2|=4

3

，
∴2a=4

3

，
∵2c=4

2

，∴a²=12，b²=a²-c²=4，
∴橢圓C的標準方程為

x2

12

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）解：聯(lián)立方程得

x2+3y2-12=0 y=x+2

，得x²+3x=0，
解得x₁=0，x₂=-3，∴A（0，2），B（-3，-1），
設(shè)所求圓的方程為：x²+y²+Dx+Ey+F=0，
依題有F=0，4+2E+F=0，10-3D-E+F=0，
解得D=4，E=-2，F(xiàn)=0，
所以所求圓的方程為：x²+y²+4x-2y=0．
（Ⅲ）證明：設(shè)l₂：y=kx+1，
聯(lián)立方程組

y=kx+1 x2+3y2-12=0

，得（1+3k²）x²+6kx-9=0，
∵點（0，1）在橢圓C內(nèi)，∴△＞0恒成立．
設(shè)M（x₁，kx₁+1），N（x₂，kx₂+1），
則x1+x2=

-6k

1+3k2

，x1x2=

-9

1+3k2

，R（0，-2），

RM

=(x1，kx1+3)，

RN

=(x2，kx2+3)，

RM

•

RN

=x1•x2+(kx1+3)(kx2+3)
=（1+k²）x₁x₂+3k（x₁+x₂）+9
=(1+k2)×

-9

3k2+1

+3k×

-6k

3k2+1

+9
=

-9-9k2

3k2+1

+

-18k2

3k2+1

+9
=

-27k2-9

3k2+1

+9=-9+9=0，
∴

RM

•

RN

=0為定值．

點評：本題考查橢圓標準方程的求法，考查圓的方程的求法，考查向量的數(shù)量積為定值的證明，解題時要認真審題，注意向量數(shù)量積的合理運用．