Question

7．定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足x²f′（x）+1＞0，f（1）=5，則不等式$f（x）＜\frac{1}{x}+4$的解集為（0，1）．

Answer 1

分析 設(shè)$g（x）=f（x）-\frac{1}{x}-4$對(duì)其求導(dǎo)，結(jié)合已知不等式得到其單調(diào)性，所求不等式轉(zhuǎn)利用單調(diào)性得到自變量的大小，即x范圍．

解答 解：由x²f′（x）+1＞0，設(shè)$g（x）=f（x）-\frac{1}{x}-4$，則$g′（x）=f′（x）+\frac{1}{x^2}$=$\frac{{x}^{2}f'（x）+1}{{x}^{2}}$＞0．
故函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，又g（1）=0，故g（x）＜0的解集為（0，1），
即$f（x）＜\frac{1}{x}-4$的解集為（0，1）．
故答案為：（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了抽象不等式的解法；關(guān)鍵是正確構(gòu)造新函數(shù)，利用已知不等式得到函數(shù)的單調(diào)性．