Question

已知函數(shù)f（x）的定義域為[0，1]，且同時滿足：①對于任意x∈[0，1]，總有f（x）≥3；②f（1）=4；③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，則有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-3．
（I）求f（0）的值；
（II）求函數(shù)f（x）的最大值；
（III）設(shè)數(shù)列，求證：．

Answer 1

（Ⅰ） 解：令x₁=x₂=0，則有f（0）≥2f（0）-3，即f（0）≤3
又對于任意x∈[0，1]，總有f（x）≥3，
∴f（0）=3�。�3分）
（Ⅱ）解：任取x₁，x₂∈[0，1]，x₁＜x₂，
f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]≥f（x₂-x₁）+f（x₁）-3
∵0≤x₁＜x₂≤1，則0＜x₂-x₁＜1，
∴f（x₂-x₁）≥3
∴f（x₂）≥f（x₁）+3-3=f（x₁），即f（x）在[0，1]上遞增．
∴當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）≤f（1）=4
∴f（x）的最大值為4　　�。�6分）
（Ⅲ）證明：當(dāng)n＞1時，a_n=S_n-S_n-1=-（a_n-3）-（a_n-1-3），
∴
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=1為首項，公比為 的等比數(shù)列．
∴a_n=（8分）
f（1）=f[3^n-1]=f[+（3^n-1-1）×]≥f（ ）+f[（3^n-1-1）×]-3≥…
即 4≥3^n-1f（ ）-3ⁿ+3．（10分）
∴f（）≤，即f（a_n）≤3+．
∴f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）≤（3+ ）+（3+ ）+…+（3+ ）
=3n+=3n+＜3n+=3（n+）．
又= log₃3³•3^2n-2= （2n+1）=3（n+ ），
∴原不等式成立．（14分）
分析：（Ⅰ）直接取x₁=0，x₂=0利用f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-3可得：f（0）≤3，再結(jié)合已知條件f（0）≥3即可求得f（0）=3；
（Ⅱ）由0≤x₁＜x₂≤1，則0＜x₂-x₁＜1，故有f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]≥f（x₂-x₁）+f（x₁）-3＞f（x₁），即f（x）在[0，1]內(nèi)是增函數(shù)，故函數(shù)f（x）的最大值為f（1）；
（Ⅲ）先證明數(shù)列{a_n}是以a₁=1為首項，公比為 的等比數(shù)列，進(jìn)而可得f（1）=f[3^n-1]=f[+（3^n-1-1）×]≥f（ ）+f[（3^n-1-1）×]-3≥…，即 4≥3^n-1f（ ）-3ⁿ+3，即f（a_n）≤3+，從而可證不等式．
點(diǎn)評：本題主要是在新定義下對抽象函數(shù)進(jìn)行考查，在做關(guān)于新定義的題目時，一定要先研究定義，在理解定義的基礎(chǔ)上再做題．解題時要認(rèn)真審題，合理運(yùn)用條件．