Question

已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=

x-2

x+1

，若對任意實數(shù)t∈[

1

2

，2]，都有f（t+a）-f（t-1）＞0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，-3）∪（0，+∞）
• B、（-1，0）
• C、（0，1）
• D、（-∞，1）∪（2，+∞）

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：當x＞0時，f（x）=

x-2

x+1

=1-

3

x+1

，可得f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增．由于對任意實數(shù)t∈[

1

2

，2]，都有f（t+a）-f（t-1）＞0即f（t+a）＞f（t-1）恒成立，又f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，可得|t+a|＞|t-1|，轉(zhuǎn)化為（2a+2）t+a²-1＞0，利用一次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：∵當x＞0時，f（x）=

x-2

x+1

=1-

3

x+1

，∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增．
∵對任意實數(shù)t∈[

1

2

，2]，都有f（t+a）-f（t-1）＞0即f（t+a）＞f（t-1）恒成立，
又f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴|t+a|＞|t-1|，
∴（2a+2）t+a²-1＞0，
∴

1 2 (2a+2)+a2-1＞0 2(2a+2)+a2-1＞0

，
解得a＞0或a＜-3
則實數(shù)a的取值范圍是a＞0或a＜-3．
故選：A．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、不等式的解法，考查了轉(zhuǎn)化能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．