Question

（2013•嘉興一模）已知橢圓C₁：

x2

16

+

y2

15

=1的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)以F為圓心，1為半徑的圓作切線PM，PN，其中切點(diǎn)為M，N則四邊形PMFN面積的最大值 為

2

6

．

Answer 1

分析：連接PF，根據(jù)圓的切線的性質(zhì)得S_△AFM=

1

2

|PM|•|MF|=

1

2

|PM|，從而四邊形PMFN面積S=2S_△AFM=|PM|．根據(jù)勾股定理，得|PM|=

|PF|2-1

，因此當(dāng)|PF|最長(zhǎng)時(shí)|PM|達(dá)到最大值．再根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，得P與橢圓右頂點(diǎn)重合時(shí)，|PF|最長(zhǎng)，由此可得|PM|最大值為2

6

，即得四邊形PMFN面積的最大值．

解答：解：連接PF，
∵PM與圓F相切，∴PM⊥MF，可得S_△AFM=

1

2

|PM|•|MF|=

1

2

|PM|
根據(jù)對(duì)稱性可得四邊形PMFN面積S=2S_△AFM=|PM|
Rt△PMF中，|PM|=

|PF|2-|MF|2

=

|PF|2-1

因此，當(dāng)|PF|最長(zhǎng)時(shí)，|PM|達(dá)到最大值，
同時(shí)四邊形PMFN面積S達(dá)最大值．
由橢圓的幾何性質(zhì)，得
當(dāng)P與橢圓

x2

16

+

y2

15

=1右頂點(diǎn)（4，0）重合時(shí)，|PF|最長(zhǎng)．
∵左焦點(diǎn)F坐標(biāo)為（-1，0），
∴|PF|最大值為|4-（-1）|=5，可得|PM|最大值為

52-1

=2

6

可得四邊形PMFN面積S的最大值為2

6

故答案為：2

6

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓內(nèi)有一個(gè)內(nèi)含于橢圓的小圓，求橢圓上一點(diǎn)P切圓的兩條切線和過(guò)切點(diǎn)兩條半徑構(gòu)成的四邊形面積的最大值，著重考查了橢圓的幾何性質(zhì)、勾股定理和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．