已知橢圓C：
x2
m
+
y2
n
=1（0＜m＜n）的長軸長為2
2
，離心率為
2
2
，點(diǎn)M（-2，0），
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)M的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左邊）若
MA
=λ
MB
，求λ的取值范圍．
分析：（1）利用2a=2
2
，和離心率計算公式
c
a
=
2
2
，及b2=a2-c2即可得出．
（2）①設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線l：ty=x+2，聯(lián)立
ty=x+2
2x2+y2=2
，利用△＞0，根與系數(shù)的關(guān)系及
MA
=λ
MB
，即可得出；
②y=0時，λ=
1
3
，也適合題意．
解答：解：（1）∵2a=2
2
，
c
a
=
2
2
，聯(lián)立解得a=
2
，c=1，∴b2=a2-c2=1．
∴橢圓的方程為x2+
y2
2
=1．
（2）①設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線l：ty=x+2，
聯(lián)立
ty=x+2
2x2+y2=2
，化為（1+2t2）y2-8ty+6=0，
∵△＞0，解得t2＞
3
2
．
∴y1+y2=
8t
1+2t2
，y1y2=
6
1+2t2
∵
MA
=λ
MB
，∴y1=λy2．
聯(lián)立解得，t2=
3(1+λ)2
32λ-6(1+λ)2
＞
3
2
．
化為
(1-λ)2
(3λ-1)(λ-3)
＜0，
解得
1
3
＜λ＜3，又λ＜1，∴
1
3
＜λ＜1．
②y=0時，λ=
1
3
，也適合題意．
綜上可知：λ∈[
1
3
，1)．
點(diǎn)評：熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為△滿足的條件即根與系數(shù)的關(guān)系、向量的運(yùn)算等是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
m
+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若橢圓上總存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P在以F1F2為直徑的圓上；
（1）求橢圓離心率的取值范圍；
（2）若AB是橢圓C的任意一條不垂直x軸的弦，M為弦AB的中點(diǎn)，且滿足KAB•KOM=-
1
4
（其中KAB、KOM分別表示直線AB、OM的斜率，O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求滿足題意的橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•馬鞍山二模）已知橢圓C1：
x2
m+2
+
y2
n
=1與雙曲線C2：
x2
m
-
y2
n
=1共焦點(diǎn)，則橢圓C1的離心率e的取值范圍為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
m+2
-
y2
n
=1與雙曲線C2：
x2
m
+
y2
n
=1有相同的焦點(diǎn)，則橢圓C1的離心率e的取值范圍為（　�。�
A、（
2
2
，1）
B、（0，
2
2
）
C、（0，1）
D、（0，
1
2
）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
m
+
y2
n
=1（0＜m＜n）的長軸長為2
2
，離心率為
2
2
，點(diǎn)M（-2，0），
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)M的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左邊）若
MA
=λ
MB
，求λ的取值范圍．

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