Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=3且a_n+1=2S_n+3，數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，且公差d＞0，b₁+b₂+b₃=15；
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；　
（2）若成等比數(shù)列，求數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)和T_n．

Answer 1

解：（1）由a_n+1=2S_n+3，得a_n=2s_n-1+3（n≥2）（2分）
相減得：a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1），即a_n+1-a_n=2a_n，則（4分）
∵當(dāng)n=1時(shí)，a₂=2a₁+3=9，
∴（5分）
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，∴a_n=3•3^n-1=3ⁿ（6分）
（2）∵b₁+b₂+b₃=15，b₁+b₃=2b₂，∴b₂=5（7分）
由題意，而
設(shè)b₁=5-d，b₂=5，b₃=5+d，
∴64=（5-d+1）（5+d+9），
∴d²+8d-20=0，得d=2或d=-10（舍去）（10分）
故（12分）
分析：（1）由題意a_n+1=2S_n+3，遞推出an的表達(dá)式，然后兩式相減，即可發(fā)現(xiàn)a_n為等比數(shù)列，從而求出a_n的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，把a(bǔ)₁，a₂和a₃帶進(jìn)去，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求出，b₁，b₂，b₃，推出b_n的通項(xiàng)公式，然后再求其前項(xiàng)和T_n．
點(diǎn)評：此題主要考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)，根據(jù)數(shù)列的遞推法求其通項(xiàng)公式，還考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)的和，這是比較基礎(chǔ)的應(yīng)用．