Question

設(shè)a＞0，函數(shù)f(x)=x-a

x2+1

+a．
（I）若f（x）在區(qū)間（0，1]上是增函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間（0，1]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）要使f（x）在區(qū)間（0，1]上是增函數(shù)，只要f′(x)=1-

ax

x2+1

≥0在(0，1]上恒成立，將a參數(shù)分離即可求出a的范圍；
（2）欲求f（x）在區(qū)間（0，1]上的最大值，即研究函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)性，對a進(jìn)行討論，求出函數(shù)的最值．

解答：解：（I）對函數(shù)f(x)求導(dǎo)數(shù)，得f′(x)=1-

ax

x2+1

．（2分）
要使f（x）在區(qū)間（0，1]上是增函數(shù)，只要f′(x)=1-

ax

x2+1

≥0在(0，1]上恒成立，
即a≤

x2+1

x

=

1+ 1 x2

在(0，1]上恒成立（4分）
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1+ 1 x2

在(0，1]上單調(diào)遞減，所以

1+ 1 x2

在(0，1]上的最小值是

2

，
注意到a＞0，所以a的取值范圍是(0，

2

]．（6分）
（II）解：①當(dāng)0＜a≤

2

時(shí)，由（I）知，f（x）在區(qū)間（0，1]上是增函數(shù)，
此時(shí)f（x）在區(qū)間（0，1]上的最大值是f(1)=1+(1-

2

)a．（8分）
②當(dāng)a＞

2

時(shí)，令f′(x)=1-

ax

x2+1

=0，
解得x=

1

a2-1

∈(0，1)．（10分）
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">0＜x＜

1

a2-1

時(shí)，f′(x)＞0；

1

a2-1

＜x＜1時(shí)，f′(x)＜0，
所以f(x)在(0，

1

a2-1

)上單調(diào)遞增，在(

1

a2-1

，1)上單調(diào)遞減，
此時(shí)f（x）在區(qū)間（0，1]上的最大值是f(

1

a2-1

)=a-

a2-1

．（13分）
綜上，當(dāng)0＜a≤

2

時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，1]上的最大值是1+(1-

2

)a；
當(dāng)a＞

2

時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，1]上的最大值是a-

a2-1

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，單調(diào)性，極值，最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題．