Question

已知數列{a_n}滿足a_n+1-2a_n=0，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）若b_n=-a_nlog₂a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整數n的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知數列{a_n}是以2為公比的等比數列．再由a₃+2是a₂，a₄的等差中項，可知a₁=2，所以數列{a_n}的通項公式a_n=2ⁿ；
（Ⅱ）由題設條件知，b_n=-n•2ⁿ，由此可知S_n=-2-2•2²-3•2³-4•2⁴--n•2ⁿ，2S_n=-2²-2•2³-3•2⁴-4•2⁵--（n-1）•2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹，再由錯位相減法可知使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整數n的最小值為5．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+1-2a_n=0，即a_n+1=2a_n，
∴數列{a_n}是以2為公比的等比數列．
∵a₃+2是a₂，a₄的等差中項，∴a₂+a₄=2a₃+4，
∴2a₁+8a₁=8a₁+4，∴a₁=2，
∴數列{a_n}的通項公式a_n=2ⁿ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及b_n=-a_nlog₂a_n得，b_n=-n•2ⁿ，
∵S_n=b₁+b₂++b_n，
∴S_n=-2-2•2²-3•2³-4•2⁴--n•2ⁿ①
∴2S_n=-2²-2•2³-3•2⁴-4•2⁵--（n-1）•2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹②
②-①得，S_n=2+2²+2³+2⁴+2⁵++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=(1-n)•2n+1-2
要使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立，只需2ⁿ⁺¹-2＞50成立，即2ⁿ⁺¹＞52，n³5
∴使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整數n的最小值為5．

點評：本題考查數列性質的綜合運用，解題時要注意計算能力的培養(yǎng)．