Question

已知圓C：（x-4）²+（y-m）²=16（m∈N*），直線4x-3y-16=0過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，且交圓C所得的弦長(zhǎng)為，點(diǎn)A（3，1）在橢圓E上．
（Ⅰ）求m的值及橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)Q為橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)直線交圓的弦長(zhǎng)的值，進(jìn)而求得圓心C（4，m）到直線，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求得m，進(jìn)而求得橢圓E的焦點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)橢圓的定義求得a，進(jìn)而根據(jù)a和c求得b，則橢圓方程可得．
（Ⅱ）設(shè)Q的坐標(biāo)，表示出，進(jìn)而設(shè)x+3y=n與橢圓方程聯(lián)立，消去y根據(jù)判別式求得n的范圍．
解答：解：（Ⅰ）因?yàn)橹本�4x-3y-16=0交圓C所得的弦長(zhǎng)為，
所以圓心C（4，m）到直線，
即∴m=4，或m=-4（舍去）
又因?yàn)橹本�4x-3y-16=0過(guò)橢圓E的右焦點(diǎn)，所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₂（4，0）．
則左焦點(diǎn)F₁的坐標(biāo)為（-4，0），因?yàn)闄E圓E過(guò)A點(diǎn)，
所以|AF₁|+|AF₂|=2a
所以
故橢圓E的方程為：．
（Ⅱ）：
則
設(shè)x+3y=n，則由
消x得18y²-6ny+n²-18=0
由于直線x+3y=n與橢圓E有公共點(diǎn)，
所以△=（6n）²-4×18×（n²-18）≥0
所以-6≤n≤6，故的取值范圍為[-12，0]
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．此類題常涉及解析幾何的所有知識(shí)和函數(shù)、不等式等很多代數(shù)知識(shí)，
當(dāng)然還會(huì)用到平面幾何知識(shí)．故要求學(xué)生對(duì)基本知識(shí)應(yīng)熟練掌握．