Question

（本小題滿分12分）

某建筑物的上半部分是多面體, 下半部分是長(zhǎng)方體（如圖）. 該建筑物的正視圖和側(cè)視圖（如圖）, 其中正(主)視圖由正方形和等腰梯形組合而成，側(cè)(左)視圖由長(zhǎng)方形和等腰三角形組合而成.

（Ⅰ）求直線與平面所成角的正弦值；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）求該建筑物的體積.

 

Answer 1

【答案】

（1）直線與平面所成角的正弦值為.

（2）二面角的余弦值為.（3）建筑物的體積為.

【解析】

試題分析：解法1：（1）作平面，

垂足為，連接，則是直線與平面所成的角.  ………………1分

由于平面平面，

故是直線與平面所成的角.……2分

作，垂足為，連接，

∵平面，∴.

∵平面，平面，

∴平面.

由題意知，

在Rt△中，，

在Rt△ 中，，在Rt△ 中，，

∴直線與平面所成角的正弦值為.        ………………………… 4分

（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，由（1）知平面

∵平面，∴.∵，∴. 

∴是二面角的平面角.        ………………………… 6分

在△中，，∵，∴.

∴二面角的余弦值為.             …………………………… 8分

（3）作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，由題意知多面體可分割為兩個(gè)等體積的四棱錐和和一個(gè)直三棱柱.

四棱錐的體積為，

直三棱柱的體積為， 

∴多面體的體積為.         ……………10分

長(zhǎng)方體的體積為.   ………… 11分

∴建筑物的體積為.  …………………… 12分

解法2：（參照解法1評(píng)分）

（1）以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），

作平面，垂足為，作，垂足為，依題意知，,

則，.

∴.

∵平面，∴平面的一個(gè)法向量為.

設(shè)直線與平面所成角為，則. 

∴直線與平面所成角的正弦值為.

（2）由(1)知,設(shè)平面的法向量為，

由， ，得取平面的一個(gè)法向量為.

設(shè)平面的法向量為，由，，得

∴平面的一個(gè)法向量為.

∵，   ∴二面角的余弦值為.

（3）（同解法1） 略

考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何中的基本問題，空間向量的應(yīng)用。

點(diǎn)評(píng)：本題通過考查直線與直線，直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想像能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程思想等．利用空間向量，往往使問題的解答得以簡(jiǎn)化，屬中檔題。