如圖1:正方形ABCD的邊長為1,E、F分別是邊AB、BC的中點,沿DE、EF、FD將△DAE、△EBF、△FCD折起來,使A、B、C三點重合于點S(如圖2),構(gòu)成三棱錐S-DEF.
(1)證明:DS⊥面SEF
(2)求三棱錐S-DEF的體積;
(3)求異面直線SF與DE所成的角.

解:(1)證明:在三棱錐S-DEF中,由已知得,
DS⊥SE,DS⊥SF,
而SE∩SF=S,SE、SF?面DEF,
則DS⊥面DEF.
(2)由于DS=DA=1,
S△SEF=S△BEF=,
則VS-DEF=
(3)SF⊥SE,SF⊥SD,而SE∩SD=S,
SE、SD?面SDE,則SF⊥面SDE.
∵DE?面SDE,
∴SF⊥DE.則異面直線SF與DE所成的角為90°.
分析:(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)和折疊前后變與不變的量,得到有兩條邊與DS垂直,根據(jù)線與面垂直的判斷,得到結(jié)論.
(2)要求三棱錐的體積先找出可以應(yīng)用的底面和對應(yīng)的高,這里選擇三角形SEF做底面,得到結(jié)果.
(3)要求異面直線所成的角,根據(jù)可以做出SF⊥面SDE,得到兩條異面直線是垂直關(guān)系,這樣得到角是90°.
點評:本題考查直線與平面之間的關(guān)系,題目中所用的條件比較特殊,第三問只要看出兩條線之間的垂直關(guān)系就可以.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1所示,在邊長為12的正方形ADD1A1中,點B,C在線段AD上,且AB=3,BC=4,作BB1∥AA1,分別交A1D1,AD1于點B1,P,作CC1∥AA1,分別交A1D1,AD1于點C1,Q,將該正方形沿BB1,CC1折疊,使得DD1與AA1重合,構(gòu)成如圖2所示的三棱柱ABC-A1B1C1
(Ⅰ)求證:AB⊥平面BCC1B1;
(Ⅱ)求四棱錐A-BCQP的體積;
(Ⅲ)求平面PQA與平面BCA所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

19、如圖1,在邊長為12的正方形AA′A′1A1中,BB1∥CC1∥AA1,且AB=3,BC=4,AA′1分別交BB1,CC1于點P、Q,將該正方形沿BB1、CC1折疊,使得A′A′1與AA1重合,構(gòu)成如圖2所示的三棱柱ABC-A1B1C1,請在圖2中解決下列問題:
(1)求證:AB⊥PQ;
(2)在底邊AC上有一點M,滿足AM;MC=3:4,求證:BM∥平面APQ.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)如圖1,已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD為菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E是BC的中點.求證:AE⊥PD.
(2)如圖2,正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=2,CD=4.求證:平面BDE⊥平面BEC.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1所示,在邊長為12的正方形ADD1A1中,點B,C在線段AD上,且AB=3,BC=4,作BB1∥AA1,分別交A1D1,AD1于點B1,P,作CC1∥AA1,分別交A1D1,AD1于點C1,Q,將該正方形沿BB1,CC1折疊,使得DD1與AA1重合,構(gòu)成如圖2所示的三棱柱ABC-A1B1C1
(Ⅰ)求證:AB⊥平面BCC1B1;
(Ⅱ)求四棱錐A-BCQP的體積;

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•青島二模)如圖,在多面體ABC-A1B1C1中,四邊形ABB1A1是正方形,AC=AB=1,A1C=A1B,B1C1∥BC,B1C1=
12
BC.
(Ⅰ)求證:面A1AC⊥面ABC;
(Ⅱ)求證:AB1∥面A1C1C.

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