Question

已知矩形ABCD，AD=2AB=2，點E是AD的中點，將△DEC沿CE折起到△D’EC的位置，使二面角D'-EC-B是直二面角．
（1）證明：BE⊥CD’；
（2）求直線EC與面D'BC的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中矩形ABCD，AD=2AB=2，點E是AD的中點，可得△BAE，△CDE都是等腰直角三角形，進而得到BE⊥EC，又由二面角D'-EC-B是直二面角，由面面垂直的性質(zhì)可得BE⊥面D'EC，再由線面垂直的性質(zhì)，可得BE⊥CD’；
（2）過E作EH⊥BD’于H，連接HC，由（1）中結(jié)論，可進一步判斷出∠HCE是直線EC與平面BD'C的所成角，解Rt△ECH即可求出直線EC與平面BD'C的所成角余弦值．
解答：解：（1）∵AD=2AB=2，E是AD的中點，
∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，∠BEC=90°，
即BE⊥EC
又∵平面D'EC⊥平面BEC，面D'EC∩面BEC=EC
∴BE⊥面D'EC，∴BE⊥CD’．               …（7分）
（2）過E作EH⊥BD’于H，連接HC．
∵由（1）BE⊥CD’，又ED’⊥CD’
∴CD’⊥平面BED’
∴平面BCD’⊥平面BED’又EH⊥BD’
∴EH⊥平面BCD’
∴∠HCE是直線EC與平面BD'C的所成角．…（10分）
在Rt△ECH中，
，，
∴
∴直線EC與平面BD'C的所成角余弦值為．…（14分），
點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，直線與平面垂直的性質(zhì)，其中（1）的關鍵是熟練掌握空間線線垂直，線面垂直與面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化，（2）的關鍵是構造出∠HCE是直線EC與平面BD'C的所成角．