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已知向量
a
=（sinx，cosx），
b
=（cosx，-2cosx），-
π
4
＜x＜
π
2
．
（Ⅰ）若
a
∥
b
，求x；
（Ⅱ）設f（x）=
a
•
b
，求f（x）的單調減區(qū)間；
（Ⅲ）函數f（x）經過平移后所得的圖象對應的函數是否能成為奇函數？如果是，說出平移方案；如果否，說明理由．
分析：（I）利用兩個向量共線的性質求得 tan2x=-1，再由-
π
4
＜x＜
π
2
 求得x的值．
（II）利用兩個向量的數量積公式 化簡 f（x）的解析式為
2
sin（2x-
π
4
）-1，令 2kπ+
π
2
≤2x-
π
4
≤2kπ+
3π
2
，k∈z，求得x的范圍，即可求得函數的減區(qū)間．
（Ⅲ）將函數f（x）的圖象向上平移1個單位，再向左平移
π
8
+kπ（ k∈N） 個單位，或向右平移
7π
8
+kπ（ k∈N） 個單位即可．
解答：解：（I）若
a
∥
b
，則 sinx（sinx-2cosx）=cos2x，…（1分）
即-sin2x=cos2x，∴tan2x=-1．-----（2分）
又∵-
π
4
＜x＜
π
2
，∴-
π
2
＜2 x＜π，
∴2x=-
π
4
，或  2x=
3π
4
，即 x=-
π
8
 或 x=
3π
8
．--------（4分）
（II）∴f（x）=
a
•
b
=2sinxcosx-2cos2x=sin2x-cos2x=
2
sin（2x-
π
4
）-1，…（7分）
令 2kπ+
π
2
≤2x-
π
4
≤2kπ+
3π
2
，k∈z，解得kπ+
3π
8
≤x≤kπ+
7π
8
．
又
π
4
＜x＜
π
2
，
∴f（x）的單調減區(qū)間時（-
π
4
，-
π
8
）、（
3π
8
，
π
2
）．…（11分）
（Ⅲ）能，將函數f（x）的圖象向上平移1個單位，再向左平移
π
8
+kπ（ k∈N） 個單位，或向右平移
7π
8
+kπ（ k∈N） 個單位，
即得函數 g（x）=
2
sin2x的圖象，而 g（x）為奇函數．…（13分）
點評：本題主要考查兩個向量共線的性質、兩個向量的數量積公式，兩角和差的正弦公式，函數y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（sinθ，-2），
b
=（cosθ，1）
（1）若
a
∥
b
，求tanθ；
（2）當θ∈[-
π
12
，
π
3
]時，求f（θ）=
a
•
b
-2|
a
+
b
|2的最值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（sinθ，1），
b
=（1，-cosθ），θ∈（0，π）
（Ⅰ）若
a
⊥
b
，求θ；
（Ⅱ）若
a
•
b
=
1
5
，求tan(2θ+
π
4
)的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（sinθ，cosθ），
b
=（2，1），滿足
a
∥
b
，其中θ∈(0，
π
2
)
（I）求tanθ值；
（Ⅱ）求
2
sin(θ+
π
4
)(sinθ+2cosθ)
cos2θ
的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（sinθ，cosθ）與
b
=（
3
，1），其中θ∈（0，
π
2
）
（1）若
a
∥
b
，求sinθ和cosθ的值；
（2）若f（θ）=(
a
+ 
b
)2，求f（θ）的值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（sinθ，
3
cosθ），
b
=（1，1）．
（1）若
a
∥
b
，求tanθ的值；
（2）若|
a
|=|
b
|，且0＜θ＜π，求角θ的大�。�

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