Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知∠ACB=90°，M為A₁B與AB₁的交點(diǎn)，N為棱B₁C₁的中點(diǎn)．
（1）求證：MN∥平面AA₁C₁C；
（2）若AC=AA₁，求證：MN⊥平面A₁BC．

Answer 1

解： （1）連接AC₁，
∵矩形AA₁B₁B中，M為A₁B與AB₁的交點(diǎn)，
∴M是AB₁的中點(diǎn)，
又∵N為棱B₁C₁的中點(diǎn)，
∴△AB₁C₁中，MN是中位線(xiàn)，可得MN∥AC₁，…（4分）
又∵AC₁?平面AA₁C₁C，MN?平面AA₁C₁C，
∴MN∥平面AA₁C₁C．…（6分）
（2）∵矩形A₁C₁CA中，AC=AA₁，
∴四邊形AA₁C₁C是正方形，可得AC₁⊥A₁C，
又∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，且BC?平面ABC，
∴CC₁⊥BC．
∵∠ACB=90°，即AC⊥BC，
∴結(jié)合CC₁∩AC=C，得BC⊥平面AA₁C₁C，
∵AC₁⊆平面AA₁C₁C，∴BC⊥AC₁，…（8分）
∵BC、A₁C是平面A₁BC內(nèi)的相交直線(xiàn)，
∴AC₁⊥平面A₁BC
又∵M(jìn)N∥AC₁，∴MN⊥平面A₁BC．…（14分）
分析：（1）連接AC₁，△AB₁C₁中可得MN是中位線(xiàn)，MN∥AC₁，根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理，即可證出MN∥平面AA₁C₁C；
（2）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中∠ACB=90°，可證出BC⊥平面AA₁C₁C，所以BC⊥AC₁．正方形AA₁C₁C中，AC₁⊥A₁C，可得AC₁⊥平面A₁BC，最后結(jié)合MN∥AC₁，可得MN⊥平面A₁BC．
點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊三棱柱，求證線(xiàn)面平行和線(xiàn)面垂直，著重考查了直棱柱的性質(zhì)、線(xiàn)面平行的判定和線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．