Question

已知函數(shù)f（x）=2^x的定義域是[0，3]，設(shè)g（x）=f（2x）-f（x+2）．
（1）求g（x）的解析式及定義域；
（2）求函數(shù)g（x）的最大值和最小值．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=2^x，
∴g（x）=f（2x）-f（x+2）=2^2x-2^x+2．（3'）
因為f（x）的定義域是[0，3]，
所以，
解之得0≤x≤1．
于是 g（x）的定義域為{x|0≤x≤1}．（或?qū)懗蒣0，1]，否則扣1分）（6'）
（2）設(shè)g（x）=（2^x）²-4×2^x
=（2^x-2）²-4．（8'）
∵x∈[0，1]，
即2^x∈[1，2]，
∴當2^x=2即x=1時，
g（x）取得最小值-4；（10'）
當2^x=1即x=0時，
g（x）取得最大值-3．（12'）
分析：（1）由f（x）=2^x，知g（x）=f（2x）-f（x+2）=2^2x-2^x+2．因為f（x）的定義域是[0，3]，所以，由此能求出g（x）的定義域．
（2）設(shè)g（x）=（2^x）²-4×2^x=（2^x-2）²-4．由2^x∈[1，2]，能求出函數(shù)g（x）的最大值和最小值．
點評：本題考查指數(shù)函數(shù)的綜合題，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．