已知關于x的二次函數(shù)f(x)=ax2-4bx+1
(Ⅰ)設集合P={1,2,3},集合Q={-1,1,2,3,4},從集合P中隨機取一個數(shù)作為a,從集合Q中隨機取一個數(shù)作為b,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù)的概率;
(Ⅱ)設點(a,b)是區(qū)域
x+y-8≤0
x>0
y>0
內(nèi)的隨機點,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù)的概率.
分析:(Ⅰ)根據(jù)古典概率的概率公式進行計算即可求出概率.
(Ⅱ)根據(jù)幾何概型的概率公式進行計算即可.
解答:解(Ⅰ)∵函數(shù)f(x)=ax2-4bx+1的圖象的對稱軸為x=
2b
a
,
要使f(x)=ax2-4bx+1在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù),
當且僅當a>0且x=
2b
a
≤1,
即2b≤a.
若a=1,則b=-1;
若a=2,則b=-1,1;
若a=3,則b=-1,1,
∴事件包含基本事件的個數(shù)是1+2+2=5
∴所求事件的概率為
5
15
=
1
3

(Ⅱ)由(1)知當且僅當2b≤a.且a>0時,
函數(shù)f(x)=ax2-4bx+1在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù),
依條件可知試驗的全部結果所構成的區(qū)域為{(a,b)|
a+b-8≤0
a>0
b>0
}
構成所求事件的區(qū)域為三角形部分.
a+b-8=0
b=
a
2
,解得a=
16
3
,b=
8
3
,即交點坐標(
16
3
8
3
),
∴所求事件的概率為P=
1
2
×8×
8
3
1
2
×8×8
=
1
3
點評:本題只要考查概率的求法,要求熟練掌握古典概型和幾何概型的概率公式,注意它們之間的聯(lián)系和區(qū)別.
練習冊系列答案
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已知關于x的二次函數(shù)f(x)=x2+(2t-1)x+1-2t.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知關于x的二次函數(shù)f(x)=ax2-2bx-1,(其中常數(shù)a、b∈R),滿足
a+b-6≤0
a>0
b>0
,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[2,+∞)上是增函數(shù)的概率是( 。
A、
1
4
B、
1
3
C、
1
2
D、
2
3

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知關于x的二次函數(shù)f(x)=x2+ax-b(a,b∈R).
(Ⅰ)當b=-2時,由于對任意的x∈R,函數(shù)f(x)的值總大于零,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)如果方程f(x)=0有一個負根和一個不大于1的正根,求實數(shù)a,b滿足的條件,并在右圖所給坐標系中畫出點(a,b)所在的平面區(qū)域;
(Ⅲ)在第(Ⅱ)問的條件下,若實數(shù)k滿足b=k(a+1)+3,求k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知關于x的二次函數(shù)f(x)=ax2-8bx+1.
(1)設集合M={1,2,3}和N={-1,1,2,3,4,5},從集合M中隨機取一個數(shù)作為a,從N中隨機取一個數(shù)作為b,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[2,+∞)上是增函數(shù)的概率;
(2)設點(a,b)是區(qū)域
x+y-6≤0
x>0
y>0
內(nèi)的隨機點,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[2,+∞)上是增函數(shù)的概率.

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