Question

設(shè)首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列的前n項(xiàng)和為T_n，且，其中p為常數(shù)．
（1）求p的值；
（2）求證：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
（3）證明：“數(shù)列a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2成等差數(shù)列，其中x、y均為整數(shù)”的充要條件是“x=1，且y=2”．

Answer 1

【答案】分析：（1）n=1時(shí)，由求得p的值，再排除p=0的情形即可得到結(jié)論；
（2）當(dāng)p=2時(shí)，，再寫一式，兩式相減可得3a_n+1=4-S_n+1-S_n，再寫一式，兩式相減，可得數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（3）分充分性與必要性分別證明，必須搞清證明中的條件與結(jié)論．
解答：（1）解：n=1時(shí)，由得p=0或2，
若p=0時(shí)，，
當(dāng)n=2時(shí)，，解得a₂=0或，
而a_n＞0，所以p=0不符合題意，故p=2；
（2）證明：當(dāng)p=2時(shí)，①，則②，
②-①并化簡(jiǎn)得3a_n+1=4-S_n+1-S_n③，則3a_n+2=4-S_n+2-S_n+1④，
④-③得（n∈N^*），
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024190619761042244/SYS201310241906197610422019_DA/9.png">，所以數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，且；
（3）證明：充分性：若x=1，y=2，由知a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2依次為，，，
滿足，即a_n，2^xa_n+₁，2^ya_n+₂成等差數(shù)列；
必要性：假設(shè)a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2成等差數(shù)列，其中x、y均為整數(shù)，又，
所以，化簡(jiǎn)得2^x-2^y-2=1
顯然x＞y-2，設(shè)k=x-（y-2），
因?yàn)閤、y均為整數(shù)，所以當(dāng)k≥2時(shí)，2^x-2^y-2＞1或2^x-2^y-2＜1，
故當(dāng)k=1，且當(dāng)x=1，且y-2=0時(shí)上式成立，即證．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差、等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式、求和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查靈活運(yùn)用基本量進(jìn)行探索求解、推理分析能力．