Question

某服裝生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場(chǎng)份額，擬在2015年度進(jìn)行一系列促銷活動(dòng)，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查和測(cè)算，服裝的年銷量x萬件與年促銷t萬元之間滿足關(guān)系式3-x=

k

t+1

（k為常數(shù)），如果不搞促銷活動(dòng)，服裝的年銷量只能是1萬件．已知2015年生產(chǎn)服裝的設(shè)備折舊，維修等固定費(fèi)用需要3萬元，每生產(chǎn)1萬件服裝需再投入32萬元的生產(chǎn)費(fèi)用，若將每件服裝的售價(jià)定為：“每件生產(chǎn)成本的150%”與“平均每件促銷費(fèi)的一半”之和，試求：
（1）2015年的利潤(rùn)y（萬元）關(guān)于促銷費(fèi)t （萬元）的函數(shù)；
（2）該企業(yè)2015年的促銷費(fèi)投入多少萬元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大？
（注：利潤(rùn)=銷售收入-生產(chǎn)成本-促銷費(fèi)，生產(chǎn)成本=固定費(fèi)用+生產(chǎn)費(fèi)用）

Answer 1

考點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）通過x表示出年利潤(rùn)y，并化簡(jiǎn)整理，代入整理即可求出y萬元表示為促銷費(fèi)t萬元的函數(shù)．
（2）根據(jù)已知代入（2）的函數(shù)，分別進(jìn)行化簡(jiǎn)即可用基本不等式求出最值，即促銷費(fèi)投入多少萬元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大．

解答： （本題滿分（14分），（8分）+6分）．
解：（1）由題意：3-x=

k

t+1

，
且當(dāng)t=0時(shí)，x=1．
所以k=2，所以3-x=

2

t+1

，…（1分）
生產(chǎn)成本為 32x+3，每件售價(jià)

3

2

(

32x+3

x

)+

t

2x

，…（2分）
所以，y=[

3

2

(

32x+3

x

)+

t

2x

]x-(32x+3)-t…（3分）
=16x-

t

2

+

3

2

=-

32

t+1

-

t+1

2

+50，（t≥50）；…（2分）
（2）因?yàn)?span id="5dn5z7t" class="MathJye">

32

t+1

+

t+1

2

≥8  當(dāng)且僅當(dāng)

32

t+1

=

t+1

2

，即t=7時(shí)取等號(hào)，…（4分）
所以y≤50-8=42，…（1分）
答：促銷費(fèi)投入7萬元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大．…（1分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，看出基本不等式在求最值中的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，強(qiáng)調(diào)對(duì)知識(shí)的理解和熟練運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．