Question

已知n是正整數(shù)，若

C

2 n

+

C

3 n

＜

C

4 n

，則n的取值范圍是

n≥9且n∈N⁺

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，由組合數(shù)的性質(zhì)可將

C

2 n

+

C

3 n

＜

C

4 n

變形為C_n+1³＜C_n⁴，由組合數(shù)公式將其展開可得

(n+1)n(n-1)

3×2×1

＜

n×(n-1)×(n-2)×(n-3)

4×3×2×1

，整理變形可得n²-9n+2＞0，解可得n的取值范圍，結(jié)合n為正整數(shù)，綜合可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，C_n²+C_n³=C_n+1³，
則

C

2 n

+

C

3 n

＜

C

4 n

⇒C_n+1³＜C_n⁴，
即

(n+1)n(n-1)

3×2×1

＜

n×(n-1)×(n-2)×(n-3)

4×3×2×1

，
變形可得n²-9n+2＞0；
解可得n＞

9+ 73

2

或n＜

9- 73

2

，
又由n是正整數(shù)，
則n≥9且n∈N⁺，
故答案為n≥9且n∈N⁺．

點評：本題考查組合數(shù)公式的性質(zhì)，注意牢記組合數(shù)公式與組合數(shù)公式的性質(zhì)．