定義:若對定義域D內(nèi)的任意兩個x1,x2(x1≠x2)均有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|成立,則稱函數(shù)y=f(x)是D上的“平緩函數(shù)”.
(1)h(x)=x2-x是否為R上的“平緩函數(shù)”,并說明理由;
(2)試證明對?k∈R,f(x)=x2+kx+1都不是區(qū)間(-1,1)上的平緩函數(shù);
(3)若數(shù)列{xn},?n∈N*中,總有|xn+1-xn|≤數(shù)學公式,若y=sinx為“平緩函數(shù)”,求證|yn+1-y1|<1..

(1)解:取x1=3,x2=1,則|h(x1)-h(x2)|=4>|x1-x2|,因此h(x)=x2-x不是R上的“平緩函數(shù)”;
(2)證明:區(qū)間(-1,1)上的任意兩個x1,x2,|f(x1)-f(x2)|=|x1+x2+k||x1-x2|,
若k≥0,則當x1,x2∈(,1)時,x1+x2+k>1,從而|f(x1)-f(x2)|>|x1-x2|;
若k<0,則當x1,x2∈(-1,-)時,x1+x2+k<-1,∴|x1+x2+k|>1,從而|f(x1)-f(x2)|>|x1-x2|,
∴?k∈R,f(x)=x2+kx+1都不是區(qū)間(-1,1)上的平緩函數(shù);
(3)證明:∵y=sinx是R上的“平緩函數(shù)”,
∴|yn+1-yn+1|≤|xn+1-xn|≤
∴|yn+1-y1|<[()+()+…+(1-)]=
∴|yn+1-y1|<1.
分析:(1)取x1=3,x2=1,則|h(x1)-h(x2)|=4>|x1-x2|,即可得到結(jié)論;
(2)區(qū)間(-1,1)上的任意兩個x1,x2,|f(x1)-f(x2)|=|x1+x2+k||x1-x2|,分類討論,即可得到結(jié)論;
(3)利用y=sinx是R上的“平緩函數(shù)”,可得|yn+1-yn+1|≤|xn+1-xn|≤),因此可得結(jié)論.
點評:本題考查新定義,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
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x
(x≥1)
滿足利普希茨條件,則常數(shù)k的最小值為
 

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(1)h(x)=x2-x是否為R上的“平緩函數(shù)”,并說明理由;
(2)試證明對?k∈R,f(x)=x2+kx+1都不是區(qū)間(-1,1)上的平緩函數(shù);
(3)若數(shù)列{xn},?n∈N*中,總有|xn+1-xn|≤
1(2n+1)2
,若y=sinx為“平緩函數(shù)”,求證|yn+1-y1|<1..

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x
(x≥1)
滿足利普希茨條件,則常數(shù)k的最小值應(yīng)是( 。

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