Question

已知函數(shù)f（x）=|x-1|-lnx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及f（x）的最小值；
（2）試比較：

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

與

(n-1)(2n+1)

2(n+1)

的大小（n∈N^*，且n≥2），并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）在不同的區(qū)間內(nèi)分別討論f（x）的單調(diào)區(qū)間及最小值，最后統(tǒng)一答案，
（2）利用（1）得到的結(jié)論利用放縮將不等式右邊的化成需要的形式再求題目所問(wèn)的問(wèn)題

解答：解：（1）當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=x-1-lnx f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

≥0
∴f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是遞增的
當(dāng)0＜x＜1時(shí)f（x）=1-x-lnx f′（x）=-1-lnx＜0
∴f（x）在區(qū)間（0，1）上是遞減的
f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在【1，+∞）上單調(diào)遞增，故當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有最小值f（1），且f（1）=0
（2）由（1）x＞1時(shí)，有x-1-lnx＞0即

lnx

x

＜1-

1

x

∴

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

＜1-

1

22

+ 1-

1

32

+…+1-

1

n2

=n-1+（

1

22

+

1

32

+…+ 

1

n2

）＜n-1-（

1

2•3

+

1

3•4

+…+

1

n(n+1)

）=n-1-（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

）=n-1-（

1

2

-

1

n+1

）=

(n-1)(2n+1)

2(n+1)

點(diǎn)評(píng)：該題不容易想到放縮的方式，在放縮時(shí)容易做錯(cuò)．考查數(shù)學(xué)歸納法以及利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性