Question

（2012•洛陽模擬）如圖，在△ABC中，|AB|=|AC|=

7

2

，|BC|=2，以B、C為焦點(diǎn)的橢圓恰好過AC的中點(diǎn)P．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過橢圓的右頂點(diǎn)A₁作直線l與圓E：（x-1）²+y²=2相交于M、N兩點(diǎn)，試探究點(diǎn)M、N能將圓E分割成弧長比值為1：3的兩段弧嗎？若能，求出直線l的方程；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）確定A，C的坐標(biāo)，即可得到P的坐標(biāo)，利用橢圓的定義，求得長軸長，進(jìn)而可求橢圓的方程；
（2）橢圓的右頂點(diǎn)A₁（2，0），圓E的圓心為E（1，0），半徑r=

2

，假設(shè)點(diǎn)M、N能將圓E分割成弧長比值為1：3的兩段弧，則可得∠MEN=90°，圓心E（1，0）到直線l的距離，分類討論：當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，l的方程為x=2；當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y=k（x-2），即kx-y-2k=0，求出圓心E（1，0）到直線l的距離即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）∵|AB|=|AC|=

7

2

，|BC|=2
∴|BO|=|OC|=1，|OA|=

|AC|2-|OC|2

=

49 4 -1

=

3 5

2

…（2分）
∴B(-1，0)，C(1，0)，A(0，

3 5

2

)
∴P(

1

2

，

3 5

4

)…（4分）
依橢圓的定義有：2a=|PB|+|PC|=

( 1 2 +1)2+( 3 5 4 -0)2

+

( 1 2 -1)2+( 3 5 4 -0)2

=

9

4

+

7

4

=4
∴a=2，…（6分）
又c=1，∴b²=a²-c²=3…（7分）
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1…（8分）
（2）橢圓的右頂點(diǎn)A₁（2，0），圓E的圓心為E（1，0），半徑r=

2

．
假設(shè)點(diǎn)M、N能將圓E分割成弧長比值為1：3的兩段弧，則∠MEN=90°，圓心E（1，0）到直線l的距離d=

2

2

r=1…（10分）
當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，l的方程為x=2，此時(shí)圓心E（1，0）到直線l的距離d=1（符合）…（11分）
當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y=k（x-2），即kx-y-2k=0，
∴圓心E（1，0）到直線l的距離d=

|k|

k2+1

=1，無解…（13分）
綜上：點(diǎn)M、N能將圓E分割成弧長比值為1：3的兩段弧，此時(shí)l方程為x=2…（14分）．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的定義，考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．