Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線條數(shù)：f（n）=

1

2

n（n-3），（n≥3，n∈N）

Answer 1

當(dāng)n=3時(shí)，f（x）=

1

2

×3×=0，凸三邊形沒有對角線，
命題成立
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3）時(shí)命題成立，即凸k邊形的對角線條數(shù)f（k）=

1

2

k（k-3）（k≥3），
當(dāng)k=k+1時(shí)，k+1邊形是在k邊形的基礎(chǔ)上增加了一邊，
增加了一個(gè)頂點(diǎn)A _k+1，增加的對角線是頂點(diǎn)A _k+1，與不相鄰頂點(diǎn)連線再加上原k變形的一邊A₁A_k+1，
增加的對角線條數(shù)為（k-3）+1=k-2，
∴f（k+1）=

1

2

×k（k-3）+k-1=

1

2

（k²-k-2）=

1

2

（k+1）（k-2）=

1

2

×（k+1）[（k+1）-3]
綜上當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立，
由（1）（2）可知，對任何n∈N₊，n≥3命題成立．