已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且 a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若p,q,r是三個互不相等的正整數(shù),且p,q,r成等差數(shù)列,試判斷ap-1,aq-1,ar-1是否成等比數(shù)列?并說明理由.
【答案】分析:(1)由a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n,類比得a1+2a2+3a3+…+nan+(n+1)an+1=nSn+1+2(n+1),兩式作差可求得:(n+1)an+1=nSn+1-(n-1)Sn+2③.
法1:由:(n+1)an+1=nSn+1-(n-1)Sn+2⇒Sn+1=2Sn+2,而S1+2=4⇒數(shù)列{Sn+2}是以4為首項,2為公比的等比數(shù)列⇒Sn,繼而可求得an;
法2:由(n+1)an+1=nSn+1-(n-1)Sn+2⇒an+1=Sn+2,當n≥2時,an=Sn-1+2,兩式作差,同理可證數(shù)列{an}是以a1=2為首項,2為公比的等比數(shù)列,從而求得an;
(2)p,q,r成等差數(shù)列⇒p+r=2q,假設ap-1,aq-1,ar-1成等比數(shù)列,可由(ap-1)(ar-1)=⇒2p+2r=2×2q.(*)利用基本不等式 可得2p+2r>2=2×2q,這與(*)式矛盾,從而可得ap-1,aq-1,ar-1不是等比數(shù)列.
解答:解:(1)∵a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n,
∴當n=1時,有 a1=(1-1)S1+2,解得 a1=2.…(1分)
由a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n,①
得a1+2a2+3a3+…+nan+(n+1)an+1=nSn+1+2(n+1),②…(2分)
②-①得:(n+1)an+1=nSn+1-(n-1)Sn+2.③…(3分)
以下提供兩種方法:
法1:由③式得:(n+1)(Sn+1-Sn)=nSn+1-(n-1)Sn+2,
即Sn+1=2Sn+2;                                                …(4分)
∴Sn+1+2=2(Sn+2),…(5分)
∵S1+2=a1+2=4≠0,
∴數(shù)列{Sn+2}是以4為首項,2為公比的等比數(shù)列.
∴Sn+2=4×2n-1,即Sn=4×2n-1-2=2n+1-2.…(6分)
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(2n+1-2)-(2n-2)=2n,…(7分)
又a1=2也滿足上式,
∴an=2n.…(8分)
法2:由③式得:(n+1)an+1=nSn+1-(n-1)Sn+2=n(Sn+1-Sn)+Sn+2,
得an+1=Sn+2.④…(4分)
當n≥2時,an=Sn-1+2,⑤…(5分)
⑤-④得:an+1=2an.…(6分)
由a1+2a2=S2+4,得a2=4,
∴a2=2a1.…(7分)
∴數(shù)列{an}是以a1=2為首項,2為公比的等比數(shù)列.
∴an=2n…(8分)
(2)解:∵p,q,r成等差數(shù)列,
∴p+r=2q.…(9分)
假設ap-1,aq-1,ar-1成等比數(shù)列,
則(ap-1)(ar-1)=,…(10分)
即(2p-1)(2r-1)=(2q-1)2,
化簡得:2p+2r=2×2q.(*)        …(11分)
∵p≠r,
∴2p+2r>2=2×2q,這與(*)式矛盾,故假設不成立.…(13分)
∴ap-1,aq-1,ar-1不是等比數(shù)列.…(14分)
點評:本題主要考查等比數(shù)列的通項公式、數(shù)列的前n項和等基礎知識,考查合情推理、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般的數(shù)學思想方法,以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力,屬于難題.
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