已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且 a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若p,q,r是三個互不相等的正整數(shù),且p,q,r成等差數(shù)列,試判斷ap-1,aq-1,ar-1是否成等比數(shù)列?并說明理由.
【答案】
分析:(1)由a
1+2a
2+3a
3+…+na
n=(n-1)S
n+2n,類比得a
1+2a
2+3a
3+…+na
n+(n+1)a
n+1=nS
n+1+2(n+1),兩式作差可求得:(n+1)a
n+1=nS
n+1-(n-1)S
n+2③.
法1:由:(n+1)a
n+1=nS
n+1-(n-1)S
n+2⇒S
n+1=2S
n+2,而S
1+2=4⇒數(shù)列{S
n+2}是以4為首項,2為公比的等比數(shù)列⇒S
n,繼而可求得a
n;
法2:由(n+1)a
n+1=nS
n+1-(n-1)S
n+2⇒a
n+1=S
n+2,當n≥2時,a
n=S
n-1+2,兩式作差,同理可證數(shù)列{a
n}是以a
1=2為首項,2為公比的等比數(shù)列,從而求得a
n;
(2)p,q,r成等差數(shù)列⇒p+r=2q,假設a
p-1,a
q-1,a
r-1成等比數(shù)列,可由(a
p-1)(a
r-1)=
⇒2
p+2
r=2×2
q.(*)利用基本不等式 可得2
p+2
r>2
=2×2
q,這與(*)式矛盾,從而可得a
p-1,a
q-1,a
r-1不是等比數(shù)列.
解答:解:(1)∵a
1+2a
2+3a
3+…+na
n=(n-1)S
n+2n,
∴當n=1時,有 a
1=(1-1)S
1+2,解得 a
1=2.…(1分)
由a
1+2a
2+3a
3+…+na
n=(n-1)S
n+2n,①
得a
1+2a
2+3a
3+…+na
n+(n+1)a
n+1=nS
n+1+2(n+1),②…(2分)
②-①得:(n+1)a
n+1=nS
n+1-(n-1)S
n+2.③…(3分)
以下提供兩種方法:
法1:由③式得:(n+1)(S
n+1-S
n)=nS
n+1-(n-1)S
n+2,
即S
n+1=2S
n+2; …(4分)
∴S
n+1+2=2(S
n+2),…(5分)
∵S
1+2=a
1+2=4≠0,
∴數(shù)列{S
n+2}是以4為首項,2為公比的等比數(shù)列.
∴S
n+2=4×2
n-1,即S
n=4×2
n-1-2=2
n+1-2.…(6分)
當n≥2時,a
n=S
n-S
n-1=(2
n+1-2)-(2
n-2)=2
n,…(7分)
又a
1=2也滿足上式,
∴a
n=2
n.…(8分)
法2:由③式得:(n+1)a
n+1=nS
n+1-(n-1)S
n+2=n(S
n+1-S
n)+S
n+2,
得a
n+1=S
n+2.④…(4分)
當n≥2時,a
n=S
n-1+2,⑤…(5分)
⑤-④得:a
n+1=2a
n.…(6分)
由a
1+2a
2=S
2+4,得a
2=4,
∴a
2=2a
1.…(7分)
∴數(shù)列{a
n}是以a
1=2為首項,2為公比的等比數(shù)列.
∴a
n=2
n…(8分)
(2)解:∵p,q,r成等差數(shù)列,
∴p+r=2q.…(9分)
假設a
p-1,a
q-1,a
r-1成等比數(shù)列,
則(a
p-1)(a
r-1)=
,…(10分)
即(2
p-1)(2
r-1)=(2
q-1)
2,
化簡得:2
p+2
r=2×2
q.(*) …(11分)
∵p≠r,
∴2
p+2
r>2
=2×2
q,這與(*)式矛盾,故假設不成立.…(13分)
∴a
p-1,a
q-1,a
r-1不是等比數(shù)列.…(14分)
點評:本題主要考查等比數(shù)列的通項公式、數(shù)列的前n項和等基礎知識,考查合情推理、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般的數(shù)學思想方法,以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力,屬于難題.