Question

設函數(shù)f（x）=x²-alnx與g(x)=

1

a

x-

x

的圖象分別交直線x=1于點A，B，且曲線y=f（x）在點A處的切線與曲線y=g（x）在點B處的切線平行（斜率相等）．
（1）求函數(shù)f（x），g（x）的表達式；
（2）當a＞1時，求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的最小值；
（3）當a＜1時，不等式f（x）≥m•g（x）在x∈[

1

4

，

1

2

]上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)f（x）和g（x）的導函數(shù)并求出它們在x=1的導數(shù)值，由導數(shù)值相等求出a的值則兩個函數(shù)的解析式可求；
（2）把a=2代入兩個函數(shù)解析式，求出函數(shù)h（x），求導后把導函數(shù)進行因式分解，然后由x=1對定義域分段，求出導函數(shù)在兩段內的符號，判出單調性，從而求得函數(shù)h（x）的最小值；
（3）把a=

1

2

分別代入函數(shù)f（x）和g（x）的解析式，分別求出導函數(shù)后判斷各自導函數(shù)在x∈[

1

4

，

1

2

)上的符號，由導函數(shù)的符號得到原函數(shù)的單調性，進一步得到函數(shù)f（x）在x∈[

1

4

，

1

2

]上的最小值和函數(shù)g（x）在x∈[

1

4

，

1

2

]上的最大值，把不等式f（x）≥m•g（x）分離參數(shù)m后求出

f(x)

g(x)

的最小值，則實數(shù)m的取值范圍可求．

解答：解：（1）由f（x）=x²-alnx，得f′(x)=

2x2-a

x

，所以f^′（1）=2-a．
由g(x)=

1

a

x-

x

，得g′(x)=

2 x -a

2a x

，所以g′(1)=

2-a

2a

．
又由題意可得f'（1）=g'（1），
即2-a=

2-a

2a

，故a=2，或a=

1

2

．
所以當a=2時，f（x）=x²-2lnx，g(x)=

1

2

x-

x

；
當a=

1

2

時，f(x)=x2-

1

2

lnx，g(x)=2x-

x

．
（2）當a＞1時，a=2，h(x)=f(x)-g(x)=x2-2lnx-

1

2

x+

x

，
函數(shù)h（x）的定義域為（0，+∞）．
h′(x)=2x-

2

x

-

1

2

+

1

2 x

=

2(x-1)(x+1)

x

-

x -1

2 x

=(

x

-1)[

4(x x + x +x+1)- x

2x

]．
由x＞0，得

4(x x + x +x+1)- x

2x

＞0，
故當x∈（0，1）時，h'（x）＜0，h（x）遞減，
當x∈（1，+∞）時，h'（x）＞0，h（x）遞增，
所以函數(shù)h（x）在（0，+∞）上的最小值為h(1)=1-2ln1-

1

2

+1=

3

2

．
（3）因為a＜1，所以a=

1

2

，此時f(x)=x2-

1

2

lnx，g(x)=2x-

x

，
當x∈[

1

4

，

1

2

)時，由f(x)=x2-

1

2

lnx，得f′(x)=2x-

1

2x

=

4x2-1

2x

＜0，
f（x）在[

1

4

，

1

2

]上為減函數(shù)，f(x)≥f(

1

2

)=

1

4

+

1

2

ln2＞0．
當x∈[

1

4

，

1

2

)時，由g(x)=2x-

x

，得g′(x)=2-

1

2 x

=

4 x -1

2 x

＞0，
g（x）在[

1

4

，

1

2

]上為增函數(shù)，g(x)≤g(

1

2

)=1-

2

2

，且g(x)≥g(

1

4

)=0．
要使不等式f（x）≥m•g（x）在x∈[

1

4

，

1

2

]上恒成立，當x=

1

4

時，m為任意實數(shù)；
當x∈(

1

4

，

1

2

]時，不等式f（x）≥m•g（x）化為m≤

f(x)

g(x)

，
而[

f(x)

g(x)

]min=

f( 1 2 )

g( 1 2 )

=

(2+ 2 )

4

ln(4e)．
所以m≤

(2+ 2 )

4

ln(4e)．
所以當a＜1時，不等式f（x）≥m•g（x）在x∈[

1

4

，

1

2

]上恒成立的實數(shù)m的取值范圍為(-∞，

(2+ 2 )

4

ln(4e)]．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程，考查了利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，訓練了利用分離變量求參數(shù)的取值范圍，考查了學生的運算能力，在分類討論時，此題對細節(jié)的分類要求較高，屬難度較大的題目．